Mostre que
é um ponto singular regular da equação diferencial dada. Encontre os expoentes no ponto singular
. Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de
.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um ponto singular regular da equação diferencial
e, em seguida, usar o método de Frobenius para (i) obter a equação indicial em
, (ii) encontrar seus expoentes
e (iii) calcular os três primeiros termos não nulos de cada uma das duas soluções linearmente independentes em torno de
.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
Dividindo por
, obtemos
logo
Como
e
são analíticas em
, concluímos que
é um ponto singular regular.
Passo 3
Procuramos uma solução de Frobenius
Calculando
e
e substituindo em
, chega-se ao somatório
O termo de menor potência é
na primeira soma, dando a equação indicial
Passo 4
Para
o coeficiente geral satisfaz a recorrência
escolhendo
obtemos
Logo a primeira solução regular é
Passo 5
Como a raiz
é dupla, a segunda solução envolve logaritmo. Usamos redução de ordem:
Expandindo
integramos até
:
e obtemos, desprezando constante que só escala a solução,
Multiplicando e recolhendo os três primeiros termos não nulos, chega-se a
Resposta
As duas soluções independentes em torno de
têm as expansões iniciais:
(a)
(b)