Mostre que x=0 é um ponto singular regular da equação diferencial dada. Encontre os expoentes no ponto singular x=0. Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de x=0.
(a) x y^prime prime+y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que x=0 é um ponto singular regular da equação diferencial
x,y'' + y' + y = 0
e, em seguida, usar o método de Frobenius para (i) obter a equação indicial em x=0, (ii) encontrar seus expoentes r e (iii) calcular os três primeiros termos não nulos de cada uma das duas soluções linearmente independentes em torno de x=0.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
Dividindo por x, obtemos
y'' + 1x,y' + 1x,y = 0,
logo
p(x)=1x, q(x)=1x
Como x,p(x)=1 e x^2,q(x)=x são analíticas em x=0, concluímos que x=0 é um ponto singular regular.

Passo 3

Procuramos uma solução de Frobenius
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+r, a0neq0
Calculando y' e y'' e substituindo em x,y''+y'+y=0, chega-se ao somatório
sumn=-1^infty an+1(n+1+r)^2,x^n+r +sumn=0^infty an,x^n+r=0
O termo de menor potência é n=-1 na primeira soma, dando a equação indicial
a0,r^2 = 0 ;Longrightarrow; r^2=0 ;Longrightarrow; r1=r2=0

Passo 4

Para r=0 o coeficiente geral satisfaz a recorrência
an+1=-an(n+1)^2, n>=0,
escolhendo a0=1 obtemos
a1=-11^2=-1, a2=-a12^2=14, a3=-a23^2=-136,dots
Logo a primeira solução regular é
y1(x)=1 - x + tfrac14,x^2 - tfrac136,x^3 + cdots

Passo 5

Como a raiz r=0 é dupla, a segunda solução envolve logaritmo. Usamos redução de ordem:
y2(x)=y1(x)integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx =y1(x)integral1/xy1(x)^2,dx
Expandindo
1y1^2=1+2x+tfrac52x^2+cdots Longrightarrow 1x,y1^2=1x+2+tfrac52x+cdots,
integramos até O(x^2):
integrall(tfrac1x+2+tfrac52xr)dx =ln x +2x +tfrac54x^2 +C,
e obtemos, desprezando constante que só escala a solução,
y2(x) =l(1 - x + tfrac14x^2+cdotsr) l(ln x+2x+tfrac54x^2r)
Multiplicando e recolhendo os três primeiros termos não nulos, chega-se a
y2(x) =ln x ;-;x,ln x ;+;tfracx^24ln x ;+;2x ;-;tfrac34x^2 ;+;cdots

Resposta

As duas soluções independentes em torno de x=0 têm as expansões iniciais:
(a)
y1(x)=1 - x + tfrac14x^2 + O(x^3)
(b)
y2(x) =ln x - x,ln x + tfracx^24ln x + 2x - tfrac34x^2 + O(x^3)

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