Determine o vetor gradiente e avalie no ponto indicado:
f(x, y)=x^{2}-2 y^{2}, no ponto (1,-2)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}-2y^{2} e pede duas coisas: (i) determinar o vetor gradiente de f (isto é, a expressão geral de \nabla f(x,y)); (ii) avaliar esse gradiente no ponto (1,-2). Informações dadas explicitamente:
  • f(x,y)=x^{2}-2y^{2}.
  • Ponto onde avaliar: (1,-2).

Passo 2

O que é o gradiente e como calculá-lo (aula curtinha): o gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Em notação,
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} significa: derivar f em relação a x tratando y como constante; e \frac{\partial f}{\partial y} significa: derivar f em relação a y tratando x como constante. O gradiente aponta na direção de maior crescimento de f e seu módulo dá a taxa de crescimento nessa direção.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a x. Pegamos f(x,y)=x^{2}-2y^{2}. Ao derivar em relação a x, o termo x^{2} vira 2x e o termo -2y^{2} é tratado como constante (pois não depende de x), logo sua derivada é zero. Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de f em relação a y. Agora tratamos x como constante. O termo x^{2} é constante (derivada zero) e o termo -2y^{2} tem derivada -2\cdot 2y=-4y. Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-4y.

Passo 5

Montar o vetor gradiente com as componentes encontradas. Assim,
\nabla f(x,y)=\bigl(2x,\,-4y\bigr).
Esta é a expressão geral do gradiente; em prova escreva exatamente assim e explique rapidamente que cada componente veio da derivada parcial correspondente.

Passo 6

Avaliar o gradiente no ponto (1,-2). Substituindo x=1 e y=-2 em \nabla f(x,y)=(2x,-4y) obtemos
\nabla f(1,-2)=\bigl(2\cdot 1,\;-4\cdot(-2)\bigr)=(2,8).

Passo 7

Interpretação rápida e dica de prova: o vetor (2,8) aponta na direção de máximo aumento de f no ponto (1,-2). Se precisar do tamanho (às vezes pedem), o módulo é
\|\nabla f(1,-2)\|=\sqrt{2^{2}+8^{2}}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}.
Dica prática: sempre calcule as parciais separadamente, lembre-se de tratar a outra variável como constante, e avalie por último no ponto.

Resposta

\nabla f(1,-2)=(2,8)

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