Determine o vetor gradiente e avalie no ponto indicado:
, no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (i) determinar o vetor gradiente de
(isto é, a expressão geral de
); (ii) avaliar esse gradiente no ponto
. Informações dadas explicitamente:
-
. - Ponto onde avaliar:
.
Passo 2
O que é o gradiente e como calculá-lo (aula curtinha): o gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor formado pelas derivadas parciais de
. Em notação,
Aqui
significa: derivar
em relação a
tratando
como constante; e
significa: derivar
em relação a
tratando
como constante. O gradiente aponta na direção de maior crescimento de
e seu módulo dá a taxa de crescimento nessa direção.
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Pegamos
. Ao derivar em relação a
, o termo
vira
e o termo
é tratado como constante (pois não depende de
), logo sua derivada é zero. Portanto,
Passo 4
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Agora tratamos
como constante. O termo
é constante (derivada zero) e o termo
tem derivada
. Logo,
Passo 5
Montar o vetor gradiente com as componentes encontradas. Assim,
Esta é a expressão geral do gradiente; em prova escreva exatamente assim e explique rapidamente que cada componente veio da derivada parcial correspondente.
Passo 6
Avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
em
obtemos
Passo 7
Interpretação rápida e dica de prova: o vetor
aponta na direção de máximo aumento de
no ponto
. Se precisar do tamanho (às vezes pedem), o módulo é
Dica prática: sempre calcule as parciais separadamente, lembre-se de tratar a outra variável como constante, e avalie por último no ponto.