Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
f(x, y)=\cos \left(2 x^{2}\right)-x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=\cos\!\bigl(2x^{2}\bigr)-x y^{2}.
Informações dadas:
  • A função depende de duas variáveis, x e y.
  • Precisa-se encontrar:
    • as derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y};
    • as derivadas parciais de segunda ordem: \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}, e as mistas \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial na prática (mini-aula rápida e prática):
  • Para calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} mantém‑se y como constante e deriva‑se a função em relação a x.
  • Para calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} mantém‑se x como constante e deriva‑se em relação a y.
Regras que usaremos aqui:
  • Regra da cadeia: se h(x)=\cos(u(x)) então h'(x)=-\sin(u(x))\cdot u'(x).
  • Derivada de um produto com uma variável sendo constante: se g(x,y)=x\cdot y^{2} e derivamos em relação a x, y^{2} é constante e \dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Começamos por derivar termo a termo:
  • Derivada de \cos\!\bigl(2x^{2}\bigr) em relação a x: aplicar a regra da cadeia com u(x)=2x^{2}. Então
\frac{d}{dx}\cos\!\bigl(2x^{2}\bigr)=-\sin\!\bigl(2x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}\bigr).
E \dfrac{d}{dx}(2x^{2})=4x. Logo
\frac{d}{dx}\cos\!\bigl(2x^{2}\bigr)=-4x\sin\!\bigl(2x^{2}\bigr).
  • Derivada de -x y^{2} em relação a x: como y^{2} é constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(-x y^{2})=-y^{2}.
Somando os resultados, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = -4x\sin\!\bigl(2x^{2}\bigr) - y^{2}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Deriva‑se mantendo x fixo:
  • \cos\!\bigl(2x^{2}\bigr) não depende de y, então sua derivada parcial em relação a y é 0.
  • -x y^{2} visto como função de y com x constante: \dfrac{\partial}{\partial y}(-x y^{2}) = -x\cdot 2y = -2xy.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y} = -2xy.

Passo 5

Mini‑explicação sobre segunda ordem e regras que vamos usar:
  • Para \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} derivamos \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a x, tratando y como constante.
  • Para \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} derivamos \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a y, tratando x como constante.
  • Para as derivadas mistas \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} calculamos \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right) e \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right) respectivamente. Se as segundas derivadas forem contínuas, essas duas mistas coincidem.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}.
Partimos de
\frac{\partial f}{\partial x} = -4x\sin\!\bigl(2x^{2}\bigr) - y^{2}.
Derivamos termo a termo em relação a x. O termo -y^{2} é constante em x, então sua derivada é 0.
Para -4x\sin\!\bigl(2x^{2}\bigr) usamos a regra do produto ( u(x)=-4x, v(x)=\sin(2x^{2})):
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'v+u v'.
Aqui u'=-4. Para v'=\dfrac{d}{dx}\sin\!\bigl(2x^{2}\bigr) aplicamos a regra da cadeia:
v'=\cos\!\bigl(2x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(2x^{2})=\cos\!\bigl(2x^{2}\bigr)\cdot 4x.
Agora põe tudo junto:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = (-4)\sin\!\bigl(2x^{2}\bigr) + (-4x)\cdot\bigl(4x\cos\!\bigl(2x^{2}\bigr)\bigr).
Multiplicando,
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -4\sin\!\bigl(2x^{2}\bigr) -16x^{2}\cos\!\bigl(2x^{2}\bigr).

Passo 7

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=-2xy. Derivando em relação a y (com x constante):
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y}(-2xy) = -2x.

Passo 8

Calcular as derivadas mistas \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.
  • Primeiro calcule \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right). Temos \dfrac{\partial f}{\partial x} = -4x\sin\!\bigl(2x^{2}\bigr) - y^{2}. O primeiro termo não depende de y, então sua derivada em y é 0. Derivando -y^{2} em relação a y obtemos -2y. Assim
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} = -2y.
  • Agora calcule \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right). Temos \dfrac{\partial f}{\partial y}=-2xy. Derivando em x (com y constante) obtemos -2y. Assim
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = -2y.
As duas mistas coincidem, como esperado: \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-2y.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=-4x\sin\!\bigl(2x^{2}\bigr)-y^{2}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=-2xy
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-4\sin\!\bigl(2x^{2}\bigr)-16x^{2}\cos\!\bigl(2x^{2}\bigr)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-2x
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=-2y
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-2y

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