Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
Informações dadas:
- A função depende de duas variáveis,
e . - Precisa-se encontrar:
- as derivadas parciais de primeira ordem:
e ; - as derivadas parciais de segunda ordem:
, , e as mistas e .
- as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 2
O que é uma derivada parcial na prática (mini-aula rápida e prática):
- Para calcular
mantém‑se como constante e deriva‑se a função em relação a . - Para calcular
mantém‑se como constante e deriva‑se em relação a .
Regras que usaremos aqui:
- Regra da cadeia: se
então . - Derivada de um produto com uma variável sendo constante: se
e derivamos em relação a , é constante e .
Passo 3
Calcular
.
Começamos por derivar termo a termo:
- Derivada de
em relação a : aplicar a regra da cadeia com . Então
E
. Logo
- Derivada de
em relação a : como é constante, .
Somando os resultados, obtemos
Passo 4
Calcular
.
Deriva‑se mantendo
fixo:
-
não depende de , então sua derivada parcial em relação a é . -
visto como função de com constante: .
Portanto
Passo 5
Mini‑explicação sobre segunda ordem e regras que vamos usar:
- Para
derivamos em relação a , tratando como constante. - Para
derivamos em relação a , tratando como constante. - Para as derivadas mistas
e calculamos e respectivamente. Se as segundas derivadas forem contínuas, essas duas mistas coincidem.
Passo 6
Calcular
.
Partimos de
Derivamos termo a termo em relação a
. O termo
é constante em
, então sua derivada é
.
Para
usamos a regra do produto (
,
):
Aqui
. Para
aplicamos a regra da cadeia:
Agora põe tudo junto:
Multiplicando,
Passo 7
Calcular
.
Partimos de
. Derivando em relação a
(com
constante):
Passo 8
Calcular as derivadas mistas
e
.
- Primeiro calcule
. Temos . O primeiro termo não depende de , então sua derivada em é . Derivando em relação a obtemos . Assim
- Agora calcule
. Temos . Derivando em (com constante) obtemos . Assim
As duas mistas coincidem, como esperado:
.