Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
f(x, y)=e^{x y}-2 y

Passo 1

O enunciado pede que se calculem as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é f(x,y)=e^{x y}-2y.
  • Devem ser encontradas:
    • as derivadas parciais de primeira ordem \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y};
    • as derivadas parciais de segunda ordem \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} e as derivadas mistas \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} e \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Definição de derivada parcial: para uma função f(x,y), a derivada parcial em relação a x trata y como constante e calcula a taxa de variação quando só x muda; simbolicamente
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Análogo para \dfrac{\partial f}{\partial y} tratando x como constante.
  • Regra do produto: se u(x,y) e v(x,y) são funções, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(u v\big)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
  • Regra da cadeia para exponencial: se g(x,y)=e^{u(x,y)}, então
\frac{\partial g}{\partial x}= \frac{\partial u}{\partial x}\,e^{u(x,y)}.
Exemplo rápido para ficar prático: se u(x,y)=x y, então \dfrac{\partial}{\partial x}e^{xy}=(\dfrac{\partial}{\partial x}xy)\,e^{xy}=y\,e^{xy} porque \dfrac{\partial}{\partial x}xy=y (pois y é tratado como constante).

Passo 3

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a x.
A função é f(x,y)=e^{x y}-2y. Ao diferenciar em relação a x, o termo -2y é constante (porque depende só de y), então sua derivada em relação a x é zero. Para e^{x y} aplicamos a regra da cadeia com u(x,y)=x y:
\frac{\partial}{\partial x}e^{x y}=\frac{\partial}{\partial x}(x y)\,e^{x y}=y\,e^{x y}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\,e^{x y}.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a y.
Diferenciando f(x,y)=e^{x y}-2y em relação a y: para e^{x y} usamos regra da cadeia com u(x,y)=x y, obtendo
\frac{\partial}{\partial y}e^{x y}=\frac{\partial}{\partial y}(x y)\,e^{x y}=x\,e^{x y},
pois \dfrac{\partial}{\partial y}(x y)=x (trata-se x como constante). Para -2y, a derivada em relação a y é -2. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\,e^{x y}-2.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem puras \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} e \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}.
Primeiro \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}: derivamos \dfrac{\partial f}{\partial x}=y\,e^{x y} em relação a x. Aqui y é constante, então é um fator multiplicativo:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(y\,e^{x y}\big)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}e^{x y}=y\cdot\big(y\,e^{x y}\big)=y^{2}e^{x y}.
Agora \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}: derivamos \dfrac{\partial f}{\partial y}=x\,e^{x y}-2 em relação a y. O termo -2 some, e x é constante multiplicando e^{x y}:
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x\,e^{x y}\big)=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}e^{x y}=x\cdot\big(x\,e^{x y}\big)=x^{2}e^{x y}.

Passo 6

Calcular as derivadas mistas \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} e \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} e verificar que são iguais.
Primeiro \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}: derivamos \dfrac{\partial f}{\partial x}=y\,e^{x y} em relação a y. Usamos a regra do produto (pois é y vezes e^{xy}):
\frac{\partial}{\partial y}\big(y\,e^{x y}\big)=1\cdot e^{x y}+y\cdot\frac{\partial}{\partial y}e^{x y}=e^{x y}+y\cdot\big(x\,e^{x y}\big)=\big(1+x y\big)e^{x y}.
Logo
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=\big(1+x y\big)e^{x y}.
Agora \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}: derivamos \dfrac{\partial f}{\partial y}=x\,e^{x y}-2 em relação a x. Novamente aplicação da regra do produto no termo x\,e^{xy}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x\,e^{x y}\big)=1\cdot e^{x y}+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}e^{x y}=e^{x y}+x\cdot\big(y\,e^{x y}\big)=\big(1+x y\big)e^{x y}.
Portanto
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=\big(1+x y\big)e^{x y}.
As duas derivadas mistas coincidem, como esperado em funções suaves (teorema de Clairaut).

Passo 7

Resumo final (já calculado passo a passo):
  • Derivadas de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x}=y\,e^{x y}, \dfrac{\partial f}{\partial y}=x\,e^{x y}-2.
  • Derivadas de segunda ordem puras: \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=y^{2}e^{x y}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=x^{2}e^{x y}.
  • Derivadas mistas: \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=(1+x y)e^{x y}.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=y\,e^{x y}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=x\,e^{x y}-2
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=y^{2}e^{x y}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=x^{2}e^{x y}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=(1+x y)e^{x y}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=(1+x y)e^{x y}

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