Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Passo 1
O enunciado pede que se calculem as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
. - Devem ser encontradas:
- as derivadas parciais de primeira ordem
e ; - as derivadas parciais de segunda ordem
, e as derivadas mistas e .
- as derivadas parciais de primeira ordem
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicados de forma simples):
- Definição de derivada parcial: para uma função
, a derivada parcial em relação a trata como constante e calcula a taxa de variação quando só muda; simbolicamente
Análogo para
tratando
como constante.
- Regra do produto: se
e são funções, então
- Regra da cadeia para exponencial: se
, então
Exemplo rápido para ficar prático: se
, então
porque
(pois
é tratado como constante).
Passo 3
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
.
A função é
. Ao diferenciar em relação a
, o termo
é constante (porque depende só de
), então sua derivada em relação a
é zero. Para
aplicamos a regra da cadeia com
:
Portanto
Passo 4
Calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
.
Diferenciando
em relação a
: para
usamos regra da cadeia com
, obtendo
pois
(trata-se
como constante). Para
, a derivada em relação a
é
. Assim
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem puras
e
.
Primeiro
: derivamos
em relação a
. Aqui
é constante, então é um fator multiplicativo:
Agora
: derivamos
em relação a
. O termo
some, e
é constante multiplicando
:
Passo 6
Calcular as derivadas mistas
e
e verificar que são iguais.
Primeiro
: derivamos
em relação a
. Usamos a regra do produto (pois é
vezes
):
Logo
Agora
: derivamos
em relação a
. Novamente aplicação da regra do produto no termo
:
Portanto
As duas derivadas mistas coincidem, como esperado em funções suaves (teorema de Clairaut).
Passo 7
Resumo final (já calculado passo a passo):
- Derivadas de primeira ordem:
, . - Derivadas de segunda ordem puras:
, . - Derivadas mistas:
.