Determine o vetor gradiente e avalie no ponto indicado:
f(x, y)=x^{2} y-y^{2}, no ponto (2,-3)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • A função dada é f(x,y)=x^{2}y-y^{2}.
  • Avaliar o vetor gradiente dessa função no ponto (2,-3).
Informações fornecidas:
  • A expressão de f (já escrita acima).
  • O ponto onde devemos avaliar: (2,-3).
O que é pedido:
  • Determinar o vetor gradiente \nabla f(x,y).
  • Calcular \nabla f(2,-3).

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (explicação didática).
  • O gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor formado pelas duas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Intuição das derivadas parciais:
    • \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) mede a taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo.
    • \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) mede a taxa de variação de f quando y muda e x fica fixo.
  • Definição limite (para lembrar a ideia):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
  • No cálculo prático, tratamos a variável “não diferenciada” como constante e diferenciamos normalmente em relação à variável escolhida.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) passo a passo.
  • Começamos de f(x,y)=x^{2}y-y^{2}.
  • Ao derivar em relação a x, tratar y como constante.
  • Para o termo x^{2}y: é y multiplicando x^{2}, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y\big)=y\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=y\cdot(2x)=2xy.
  • Para o termo -y^{2}: como não depende de x, a derivada é 0:
\frac{\partial}{\partial x}\big(-y^{2}\big)=0.
  • Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) passo a passo.
  • Partimos novamente de f(x,y)=x^{2}y-y^{2}.
  • Ao derivar em relação a y, tratar x como constante.
  • Para o termo x^{2}y: x^{2} é constante multiplicando y, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y\big)=x^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y)=x^{2}\cdot 1 = x^{2}.
  • Para o termo -y^{2}: derivando em y obtemos -2y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(-y^{2}\big)=-2y.
  • Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}-2y.

Passo 5

Montar o vetor gradiente geral.
  • Juntando os resultados dos passos anteriores:
\boxed{\nabla f(x,y)=\big(2xy,\;x^{2}-2y\big).}
(Isto significa que o primeiro componente é a derivada parcial em relação a x e o segundo em relação a y.)

Passo 6

Avaliar as componentes do gradiente no ponto (2,-3).
  • Para a primeira componente:
\frac{\partial f}{\partial x}(2,-3)=2\cdot 2\cdot(-3)=4\cdot(-3)=-12.
  • Para a segunda componente:
\frac{\partial f}{\partial y}(2,-3)=2^{2}-2\cdot(-3)=4+6=10.

Resposta

\nabla f(2,-3)=(-12,10)

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