Determine o vetor gradiente e avalie no ponto indicado:
, no ponto
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- A função dada é
. - Avaliar o vetor gradiente dessa função no ponto
.
Informações fornecidas:
- A expressão de
(já escrita acima). - O ponto onde devemos avaliar:
.
O que é pedido:
- Determinar o vetor gradiente
. - Calcular
.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo (explicação didática).
- O gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor formado pelas duas derivadas parciais:
- Intuição das derivadas parciais:
-
mede a taxa de variação de quando muda e fica fixo. -
mede a taxa de variação de quando muda e fica fixo.
-
- Definição limite (para lembrar a ideia):
- No cálculo prático, tratamos a variável “não diferenciada” como constante e diferenciamos normalmente em relação à variável escolhida.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
- Começamos de
. - Ao derivar em relação a
, tratar como constante. - Para o termo
: é multiplicando , então
- Para o termo
: como não depende de , a derivada é :
- Portanto,
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Partimos novamente de
. - Ao derivar em relação a
, tratar como constante. - Para o termo
: é constante multiplicando , então
- Para o termo
: derivando em obtemos :
- Portanto,
Passo 5
Montar o vetor gradiente geral.
- Juntando os resultados dos passos anteriores:
(Isto significa que o primeiro componente é a derivada parcial em relação a
e o segundo em relação a
.)
Passo 6
Avaliar as componentes do gradiente no ponto
.
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente: