Determine o vetor gradiente de cada função no ponto indicado:
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right),(2,1)

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\ln\big(x^{2}+y^{2}\big) e pede para determinar o vetor gradiente dessa função no ponto \,(2,1).\n
Informações relevantes:
\displaystyle a função é definida por \displaystyle f(x,y)=\ln\big(x^{2}+y^{2}\big).
\displaystyle o ponto onde devemos avaliar o gradiente é \,(2,1).
\displaystyle a tarefa é calcular \displaystyle \nabla f(2,1), ou seja, o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f em (2,1).

Passo 2

O que é o vetor gradiente e como vamos calculá‑lo (aula rápida e prática). \n
\displaystyle O vetor gradiente de uma função f(x,y) é definido como
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
\displaystyle As derivadas parciais significam: para \partial f/\partial x derivamos f em relação a x tratando y como constante; para \partial f/\partial y derivamos em relação a y tratando x como constante. \n
\displaystyle Como f é uma composição \ln(u) com u(x,y)=x^{2}+y^{2}, usaremos a regra da cadeia: a derivada de \ln(u) em relação a uma variável é \dfrac{1}{u} vezes a derivada de u nessa variável. Vou mostrar isso passo a passo para cada parcial.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y). \n
\displaystyle Defina u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então f(x,y)=\ln\big(u(x,y)\big). Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y).
\displaystyle Agora calcule \partial u/\partial x: como u=x^{2}+y^{2} e y é tratado como constante,
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=2x.
\displaystyle Substituindo em cima:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y). \n
\displaystyle Mesma ideia: usando u(x,y)=x^{2}+y^{2} e a regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}(x,y).
\displaystyle Calculando \partial u/\partial y: como u=x^{2}+y^{2} e x é tratado como constante,
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=2y.
\displaystyle Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Avaliar as parciais no ponto \,(2,1) e montar o gradiente. \n
\displaystyle Primeiro calcule o denominador em (2,1):
x^{2}+y^{2}\Big|_{(2,1)}=2^{2}+1^{2}=4+1=5.
\displaystyle Agora as componentes:
\frac{\partial f}{\partial x}(2,1)=\frac{2\cdot 2}{5}=\frac{4}{5}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(2,1)=\frac{2\cdot 1}{5}=\frac{2}{5}.
\displaystyle Portanto o vetor gradiente em (2,1) é
\nabla f(2,1)=\left(\frac{4}{5},\;\frac{2}{5}\right).

Resposta

\displaystyle \nabla f(2,1)=\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)

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