Determine o vetor gradiente de cada função no ponto indicado:
f(x, y)=\sqrt{2 x+2 y}, ( -1,2 )

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sqrt{2x+2y} e pede o vetor gradiente dessa função no ponto (-1,2).\n
Informações relevantes:
  • A função é f(x,y)=\sqrt{2x+2y}.
  • O ponto onde devemos avaliar o gradiente é (-1,2).
  • Precisamos encontrar \nabla f(-1,2), ou seja, os dois parciais \frac{\partial f}{\partial x}(-1,2) e \frac{\partial f}{\partial y}(-1,2).

Passo 2

O que é o gradiente e como ele se forma:\n
O vetor gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Em símbolos:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Cada derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} mede a taxa de variação de f quando só x muda e y fica fixo; analogamente para \frac{\partial f}{\partial y}. Para calcular essas derivadas, aqui vamos usar a regra da cadeia porque f é uma composição da raiz quadrada com a função linear 2x+2y.

Passo 3

Derivada da raiz e aplicação da regra da cadeia:\n
Considere a função univariada g(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}. A derivada de g é
g'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Na nossa função temos u(x,y)=2x+2y, logo f(x,y)=g(u(x,y)). Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y).
Como \frac{\partial u}{\partial x}=2, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{2x+2y}}\cdot 2.
Fazendo a simplificação do fator 2:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2x+2y}}.

Passo 4

Cálculo de \frac{\partial f}{\partial y} e verificação do domínio:\n
Pela simetria da expressão 2x+2y, a derivada em relação a y segue o mesmo raciocínio: \frac{\partial u}{\partial y}=2, então
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{2x+2y}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x+2y}}.
Antes de avaliar no ponto, verificamos o domínio: a raiz exige 2x+2y\ge 0, ou seja x+y\ge 0. No ponto (-1,2) temos -1+2=1\ge 0, portanto o ponto está no domínio e as derivadas existem ali.

Passo 5

Avaliação das derivadas no ponto (-1,2):\n
Calcule 2x+2y em (-1,2):
2(-1)+2(2)=-2+4=2.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(-1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(-1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto o vetor gradiente no ponto é o par com essas duas componentes. Boa — já temos o resultado final; ficou simples porque as duas componentes deram iguais por causa da forma 2x+2y. Continua firme!

Resposta

\nabla f(-1,2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

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