Determine o vetor gradiente de cada função no ponto indicado:
, (
)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o vetor gradiente dessa função no ponto
.\n
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é
. - O ponto onde devemos avaliar o gradiente é
. - Precisamos encontrar
, ou seja, os dois parciais e .
Passo 2
O que é o gradiente e como ele se forma:\n
O vetor gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Em símbolos:
O vetor gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Em símbolos:
Cada derivada parcial
mede a taxa de variação de
quando só
muda e
fica fixo; analogamente para
. Para calcular essas derivadas, aqui vamos usar a regra da cadeia porque
é uma composição da raiz quadrada com a função linear
.
Passo 3
Derivada da raiz e aplicação da regra da cadeia:\n
Considere a função univariada . A derivada de
é
Considere a função univariada
Na nossa função temos
, logo
. Pela regra da cadeia,
Como
, obtemos
Fazendo a simplificação do fator
:
Passo 4
Cálculo de
e verificação do domínio:\n
Pela simetria da expressão , a derivada em relação a
segue o mesmo raciocínio:
, então
Pela simetria da expressão
Antes de avaliar no ponto, verificamos o domínio: a raiz exige
, ou seja
. No ponto
temos
, portanto o ponto está no domínio e as derivadas existem ali.
Passo 5
Avaliação das derivadas no ponto
:\n
Calcule em
:
Calcule
Logo
Portanto o vetor gradiente no ponto é o par com essas duas componentes. Boa — já temos o resultado final; ficou simples porque as duas componentes deram iguais por causa da forma
. Continua firme!