Apresente as derivadas direcionais das seguintes funções no ponto
indicado e na direção do vetor
:
;
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e o vetor de direção
.
O que se pede: a derivada direcional de no ponto
na direção de
.
O que se pede: a derivada direcional de
Informações relevantes listadas:
\n
- Função:
. \n - Ponto:
. \n - Vetor dado:
(componentes em ). \n - Observação importante (vou tratar melhor mais adiante):
depende só de e , não de . Logo só as componentes do vetor importam para a derivada direcional no domínio de . Não vou resolver nada ainda, só identifiquei os dados.
Passo 2
Conceito e fórmula que usaremos (aulas rápidas):
A derivada direcional de uma função de duas variáveis no ponto
na direção de um vetor unitário
(em
) é dada por
A derivada direcional de uma função de duas variáveis
onde
é o vetor gradiente em
e
é o produto escalar.
Explicando devagar:
-
é a derivada parcial de em relação a : mede a inclinação de quando mudamos só . -
é a derivada parcial em relação a : mede a inclinação quando mudamos só . - O gradiente
aponta na direção de maior crescimento de ; o produto escalar com um vetor unitário dá a taxa de variação de ao longo dessa direção. - Se o vetor de direção fornecido não for unitário, primeiro normalizamos:
.
Aqui há uma sutileza prática: o vetor
dado tem componente em
. Como
depende apenas de
e
, a componente em
não altera as derivadas parciais (pois não há variação em
). Portanto, tomamos a projeção de
no plano
, isto é
, e normalizamos essa projeção para obter o vetor unitário de direção em
. (Se alguém estender
trivialmente para
como
, há outra forma de proceder — comentei isso depois — mas a escolha natural aqui é usar a projeção no plano onde
realmente varia.)
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais
e
explicitamente, passo a passo, usando a regra do quociente. Escrevo numerador e denominador:
A regra do quociente diz que
Calculemos as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
Substituindo na fórmula do quociente:
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo:
então
Logo
Agora
:
Calcule o numerador:
então
Portanto
Passo 5
Avalie
no ponto
. Primeiro calcule
em
:
Como o denominador
, fica simples.
Calcule
:
Calcule
:
Logo o gradiente em
é
Passo 6
Agora tratamos o vetor de direção. O vetor fornecido é
. Como expliquei antes,
depende só de
e
, então tomamos a projeção no plano
:
Normalizamos
para obter o vetor unitário de direção:
Passo 7
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente por esse vetor unitário:
Calcule o produto escalar:
Observação rápida (para não te deixar em dúvida): se em vez disso alguém interpretasse
como função constante em
estendida para
e normalizasse o vetor
inteiro (norma
), obteria
. Aqui adotei a interpretação natural para função definida em
: usar a projeção
e normalizar essa projeção.