Apresente as derivadas direcionais das seguintes funções no ponto P indicado e na direção do vetor \vec{u} :
f(x, y)=\frac{x-y}{x y+2}, P(1,-1), \vec{u}=\vec{i}+2 \vec{j}+2 \vec{k};

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\frac{x-y}{xy+2}, o ponto P=(1,-1) e o vetor de direção \displaystyle \vec{u}=\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}.
O que se pede: a derivada direcional de f no ponto P na direção de \vec{u}.
Informações relevantes listadas:
\displaystyle \n
  • Função: \displaystyle f(x,y)=\frac{x-y}{xy+2}. \n
  • Ponto: \displaystyle P=(1,-1). \n
  • Vetor dado: \displaystyle \vec{u}=(1,2,2) (componentes em x,y,z). \n
  • Observação importante (vou tratar melhor mais adiante): f depende só de x e y, não de z. Logo só as componentes x,y do vetor importam para a derivada direcional no domínio de f. Não vou resolver nada ainda, só identifiquei os dados.

Passo 2

Conceito e fórmula que usaremos (aulas rápidas):
A derivada direcional de uma função de duas variáveis f(x,y) no ponto P na direção de um vetor unitário \vec{v} (em \mathbb{R}^2) é dada por
D_{\vec{v}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\vec{v},
onde \nabla f(P)=(f_x(P),\,f_y(P)) é o vetor gradiente em P e \cdot é o produto escalar.
Explicando devagar:
  • f_x é a derivada parcial de f em relação a x: mede a inclinação de f quando mudamos só x.
  • f_y é a derivada parcial em relação a y: mede a inclinação quando mudamos só y.
  • O gradiente \nabla f(P) aponta na direção de maior crescimento de f; o produto escalar com um vetor unitário \vec{v} dá a taxa de variação de f ao longo dessa direção.
  • Se o vetor de direção fornecido não for unitário, primeiro normalizamos: \vec{v}=\dfrac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|}.
Aqui há uma sutileza prática: o vetor \vec{u} dado tem componente em z. Como f depende apenas de x e y, a componente em z não altera as derivadas parciais (pois não há variação em z). Portanto, tomamos a projeção de \vec{u} no plano xy, isto é \vec{u}_{xy}=(1,2), e normalizamos essa projeção para obter o vetor unitário de direção em \mathbb{R}^2. (Se alguém estender f trivialmente para \mathbb{R}^3 como F(x,y,z)=f(x,y), há outra forma de proceder — comentei isso depois — mas a escolha natural aqui é usar a projeção no plano onde f realmente varia.)

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais f_x e f_y explicitamente, passo a passo, usando a regra do quociente. Escrevo numerador e denominador:
N(x,y)=x-y,\qquad D(x,y)=xy+2.
A regra do quociente diz que
f_x=\frac{N_x D - N D_x}{D^2},\qquad f_y=\frac{N_y D - N D_y}{D^2}.
Calculemos as derivadas parciais de N e D:
N_x=1,\quad N_y=-1,\quad D_x=y,\quad D_y=x.

Passo 4

Substituindo na fórmula do quociente:
f_x=\frac{1\cdot (xy+2)-(x-y)\cdot y}{(xy+2)^2}
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo:
1\cdot (xy+2)=xy+2,
(x-y)\cdot y = xy - y^2,
então
\text{numerador }= (xy+2)-(xy - y^2)=xy+2-xy+y^2=2+y^2.
Logo
\boxed{f_x(x,y)=\dfrac{y^2+2}{(xy+2)^2}.}
Agora f_y:
f_y=\frac{-1\cdot (xy+2)-(x-y)\cdot x}{(xy+2)^2}.
Calcule o numerador:
-1\cdot (xy+2) = -xy-2,
(x-y)\cdot x = x^2 - x y,
então
\text{numerador }= (-xy-2) - (x^2-xy)= -xy-2-x^2+xy = -x^2-2.
Portanto
\boxed{f_y(x,y)=\dfrac{-(x^2+2)}{(xy+2)^2}.}

Passo 5

Avalie \nabla f no ponto P=(1,-1). Primeiro calcule xy+2 em P:
xy+2 = 1\cdot(-1)+2 = -1+2 = 1.
Como o denominador (xy+2)^2 = 1^2 = 1, fica simples.
Calcule f_x(1,-1):
f_x(1,-1)=\frac{y^2+2}{(xy+2)^2}=\frac{(-1)^2+2}{1}=\frac{1+2}{1}=3.
Calcule f_y(1,-1):
f_y(1,-1)=\frac{-(x^2+2)}{(xy+2)^2}=\frac{-(1^2+2)}{1}=\frac{-(1+2)}{1}=-3.
Logo o gradiente em P é
\boxed{\nabla f(1,-1)=(3,\,-3).}

Passo 6

Agora tratamos o vetor de direção. O vetor fornecido é \vec{u}=(1,2,2). Como expliquei antes, f depende só de x e y, então tomamos a projeção no plano xy:
\vec{u}_{xy}=(1,2).
Normalizamos \vec{u}_{xy} para obter o vetor unitário de direção:
\|\vec{u}_{xy}\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},
\widehat{\vec{u}}=\frac{\vec{u}_{xy}}{\|\vec{u}_{xy}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\,\frac{2}{\sqrt{5}}\right).

Passo 7

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente por esse vetor unitário:
D_{\vec{u}}f(1,-1)=\nabla f(1,-1)\cdot \widehat{\vec{u}} =(3,\,-3)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\,\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Calcule o produto escalar:
D_{\vec{u}}f(1,-1)=3\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} + (-3)\cdot\frac{2}{\sqrt{5}} =\frac{3-6}{\sqrt{5}}=\frac{-3}{\sqrt{5}}.
Observação rápida (para não te deixar em dúvida): se em vez disso alguém interpretasse f como função constante em z estendida para \mathbb{R}^3 e normalizasse o vetor (1,2,2) inteiro (norma =3), obteria D_{\vec{u}}f(1,-1)=-1. Aqui adotei a interpretação natural para função definida em \mathbb{R}^2: usar a projeção (1,2) e normalizar essa projeção.

Resposta

\displaystyle D_{\vec{u}}f(1,-1)=-\dfrac{3}{\sqrt{5}}

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