Determine o vetor gradiente e a derivada direcional no ponto P e na direção do vetor v das funções a seguir:
1.1
f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+z^2), P=(1,2,3), v=i-j-k

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(x,y,z)=lnl(x^2+y^2+z^2r),
no ponto P=(1,2,3) e na direção do vetor vec v=vec i-vec j-vec k:
  1. o vetor gradiente nabla f(P)
  2. a derivada direcional de f em P na direção de vec v.
    Para isso vamos usar que o gradiente é dado pelas derivadas parciais de f e que a derivada direcional em direção a um vetor unitário u é nabla f(P)cdot u.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Como
f(x,y,z)=lnl(r^2r), r^2=x^2+y^2+z^2,
temos
partial fpartial x =1r^2cdot 2x =2xx^2+y^2+z^2,
e de modo análogo
partial fpartial y =2yx^2+y^2+z^2, partial fpartial z =2zx^2+y^2+z^2
Portanto o gradiente é
nabla f(x,y,z) =gl(2xx^2+y^2+z^2,; 2yx^2+y^2+z^2,; 2zx^2+y^2+z^2gr)

Passo 3

Avaliar nabla f no ponto P=(1,2,3). Primeiro
r^2=1^2+2^2+3^2=1+4+9=14
Logo
nabla f(1,2,3) =l(2cdot114,,2cdot214,,2cdot314r) =l(tfrac17,,tfrac27,,tfrac37r)

Passo 4

Calcular a derivada direcional. O vetor dado é vec v=(1,-1,-1). Seu comprimento é
|vec v|=raiz1^2+(-1)^2+(-1)^2=raiz3,
então o versor é
u=vec v|vec v| =l(tfrac1raiz3,,-tfrac1raiz3,,-tfrac1raiz3r)
A derivada direcional é
D uf(1,2,3) =nabla f(1,2,3)cdot u =l(tfrac17,tfrac27,tfrac37r)cdot l(tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3,-tfrac1raiz3r) =1-2-37raiz3 =-47raiz3

Resposta

nabla f(1,2,3)=l(tfrac17,tfrac27,tfrac37r)
Dvec vf(1,2,3)=-47raiz3

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