Determine a taxa de variação máxima das funções no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y)=y e^x y, no ponto (0,2)

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação máxima de f(x,y)=y e^xy no ponto (0,2) e a direção em que ela ocorre. Para isso usamos o gradiente, pois sabemos que a derivada direcional máxima em um ponto é o módulo do gradiente nesse ponto, e a direção de máxima variação é dada pelo próprio gradiente.

Passo 2

Calculamos o gradiente nabla f=(fx,fy). Como
f(x,y)=y,e^xy,
temos
fx=partialpartial xl(y,e^xyr)=ycdot e^xycdot y=y^2e^xy,
fy=partialpartial yl(y,e^xyr)=e^xy+ycdot e^xycdot x=e^xy+xy,e^xy

Passo 3

Avaliamo o gradiente em (0,2). Substituindo x=0 e y=2,
fx(0,2)=2^2e^0cdot2=4,
fy(0,2)=e^0+0cdot2,e^0=1
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nabla f(0,2)=(4,1)

Passo 4

A taxa de variação máxima é o módulo de nabla f(0,2) e a direção é o vetor gradiente normalizado. Assim,
|nabla f(0,2)|=raiz4^2+1^2=raiz17,
e a direção unitária é
nabla f(0,2)|nabla f(0,2)| =l(4raiz17,,1raiz17r)

Resposta

A taxa de variação máxima em (0,2) é raiz17 na direção l(tfrac4raiz17,,tfrac1raiz17r).

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