Determine a taxa de variação máxima das funções no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
, no ponto
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação máxima de
no ponto
e a direção em que ela ocorre. Para isso usamos o gradiente, pois sabemos que a derivada direcional máxima em um ponto é o módulo do gradiente nesse ponto, e a direção de máxima variação é dada pelo próprio gradiente.
Passo 2
Calculamos o gradiente
. Como
temos
Passo 3
Avaliamo o gradiente em
. Substituindo
e
,
Logo
Passo 4
A taxa de variação máxima é o módulo de
e a direção é o vetor gradiente normalizado. Assim,
e a direção unitária é
Resposta
A taxa de variação máxima em
é
na direção
.