Determine o vetor gradiente e a derivada direcional no ponto
e na direção do vetor
das funções a seguir:
1.1
1.1
Passo 1
O enunciado pede o vetor gradiente de
e a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para obter
e depois projetar esse gradiente sobre o vetor unitário na direção de
.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia para as derivadas parciais, temos
Logo, o vetor gradiente genérico é
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos
Passo 4
Para a derivada direcional precisamos do vetor unitário em direção a
. Primeiro a norma:
Portanto o vetor unitário é
Passo 5
A derivada direcional de
em
na direção de
é