Determine o vetor gradiente e a derivada direcional no ponto P e na direção do vetor v das funções a seguir:
1.1
f(x, y)=raiz4-x^2-y^2, P=(0,1), v=(2,2)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de
f(x, y)=raiz4-x^2-y^2
e a derivada direcional de f no ponto P=(0,1) na direção do vetor vec v=(2,2). Vamos usar cálculo de derivadas parciais para obter nabla f e depois projetar esse gradiente sobre o vetor unitário na direção de vec v.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para as derivadas parciais, temos
partial fpartial x(x,y) =12(4-x^2-y^2)^-tfrac12cdot(-2x) =-xraiz4-x^2-y^2,
partial fpartial y(x,y) =-yraiz4-x^2-y^2
Logo, o vetor gradiente genérico é
nabla f(x,y) =l(-xraiz4-x^2-y^2,,-yraiz4-x^2-y^2r)

Passo 3

Substituindo P=(0,1) em nabla f(x,y), obtemos
nabla f(0,1) =l(-0raiz4-0^2-1^2,,-1raiz4-0-1r) =l(0,,-1raiz3r)

Passo 4

Para a derivada direcional precisamos do vetor unitário em direção a vec v=(2,2). Primeiro a norma:
|vec v|=raiz2^2+2^2=raiz8=2raiz2
Portanto o vetor unitário é
vec u=vec v|vec v| =l(22raiz2,,22raiz2r) =l(1raiz2,,1raiz2r)

Passo 5

A derivada direcional de f em P na direção de vec v é
Dvec vf(0,1) =nabla f(0,1)cdotvec u =0cdot1raiz2 +l(-1raiz3r)cdot1raiz2 =-1raiz6

Resposta

nabla f(0,1) = l(0,,-tfrac1raiz3r)
Dvec vf(0,1) = -tfrac1raiz6

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