Determine o vetor gradiente e a derivada direcional no ponto
e na direção do vetor
das funções a seguir:
1.1
1.1
Passo 1
O enunciado pede o vetor gradiente de
no ponto
e a derivada direcional nesse ponto na direção do vetor
. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para obter
e depois a fórmula da derivada direcional
onde
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
. Como
, pela regra da cadeia temos
Passo 3
O vetor gradiente é
Avaliando em
dá
Passo 4
Para usar a fórmula da derivada direcional precisamos do vetor unitário
na direção de
. Seu módulo é
logo
Passo 5
A derivada direcional em
é o produto escalar de
com
:
Resposta
O vetor gradiente em
é
e a derivada direcional na direção de
é