Determine o vetor gradiente e a derivada direcional no ponto P e na direção do vetor v das funções a seguir:
1.1
f(x, y)=e^x^2-y^2, P=(1,1), v=(1,3)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente de f(x,y)=e^x^2-y^2 no ponto P=(1,1) e a derivada direcional nesse ponto na direção do vetor vec v=(1,3). Vamos usar cálculo de derivadas parciais para obter nabla f e depois a fórmula da derivada direcional
Dvec uf(P)=nabla f(P)cdot vec u,
onde vec u é o vetor unitário na direção de vec v.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=e^x^2-y^2, pela regra da cadeia temos
partial fpartial x =2x,e^,x^2-y^2, partial fpartial y =-2y,e^,x^2-y^2

Passo 3

O vetor gradiente é
nabla f(x,y) =l(2x,e^,x^2-y^2,;-2y,e^,x^2-y^2r)
Avaliando em P=(1,1)
nabla f(1,1) =l(2cdot1,e^,1-1,;-2cdot1,e^,1-1r) =(2,-2)

Passo 4

Para usar a fórmula da derivada direcional precisamos do vetor unitário vec u na direção de vec v=(1,3). Seu módulo é
|vec v|=raiz1^2+3^2=raiz10,
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vec u=vec v|vec v| =l(tfrac1raiz10,;tfrac3raiz10r)

Passo 5

A derivada direcional em P é o produto escalar de nabla f(1,1) com vec u:
Dvec uf(1,1) =(2,-2)cdotl(tfrac1raiz10,tfrac3raiz10r) =2cdot1 + (-2)cdot3raiz10 =2 - 6raiz10 =-4raiz10

Resposta

O vetor gradiente em P é nabla f(1,1)=(2,-2) e a derivada direcional na direção de vec v é
Dvec vf(1,1)=-4raiz10

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