Determine o vetor gradiente da função dada.
f(x, y, z)=\cos (x y z)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=\cos(xyz) e pede para eu determinar o vetor gradiente dessa função.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} definida por f(x,y,z)=\cos(xyz).
  • As variáveis independentes são x, y e z.
    O que é pedido explicitamente: calcular \nabla f(x,y,z), isto é, o vetor cujas componentes são as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.

Passo 2

O que é o gradiente?
O gradiente de uma função f(x,y,z) é o vetor formado pelas suas derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Intuição rápida: cada componente diz como f muda se eu variar só uma variável (mantendo as outras fixas). Na prova, quando pedirem \nabla f, você calcula essas três derivadas parciais.

Passo 3

Estratégia para calcular as parciais (a ideia que vou usar): f é composta por \cos de uma função u(x,y,z)=xyz. Vou aplicar a regra da cadeia. Lembrete da regra da cadeia simples:
se f(u)=\cos(u) e u=u(x,y,z), então
\frac{\partial}{\partial x}\cos(u(x,y,z)) = -\sin(u(x,y,z))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui -\sin(u) vem da derivada de \cos(u) e \frac{\partial u}{\partial x} é a derivada da parte interna.

Passo 4

Defino a função interna
u(x,y,z)=x y z.
Agora calculo as derivadas parciais de u. Ao derivar em relação a uma variável, trato as outras como constantes:
\frac{\partial u}{\partial x}=y z,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=x z,\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=x y.
Explicando rápido: por exemplo, \dfrac{\partial}{\partial x}(xyz)=yz porque y e z são constantes multiplicando x.

Passo 5

Calculo agora \dfrac{\partial f}{\partial x} usando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\cos(u) = -\sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Substituindo u=xyz e \dfrac{\partial u}{\partial x}=yz, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = -\sin(xyz)\cdot yz.

Passo 6

Faço o mesmo para as outras duas variáveis:
\frac{\partial f}{\partial y} = -\sin(xyz)\cdot xz,
\frac{\partial f}{\partial z} = -\sin(xyz)\cdot xy.
Cada uma segue a mesma ideia: derivada de \cos -\sin e multiplico pela derivada da parte interna em relação à variável considerada.

Passo 7

Agora reúno as três componentes para escrever o gradiente. Posso fatorar o fator comum -\sin(xyz):
\nabla f(x,y,z) = -\sin(xyz)\,(yz,\; xz,\; xy).
Esse é o resultado final. Uma forma equivalente, escrevendo componente a componente, é
\nabla f(x,y,z)=\left(-yz\,\sin(xyz),\; -xz\,\sin(xyz),\; -xy\,\sin(xyz)\right).
Exemplo numérico rápido para fixar: se (x,y,z)=(1,2,0{,}5) então xyz=1, -\sin(1) é o fator comum e o gradiente vale (-\,\sin(1),\; -0{,}5\,\sin(1),\; -2\,\sin(1)).

Resposta

\nabla f(x,y,z)=-\sin(xyz)\,(yz,\;xz,\;xy)

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