Determine o vetor gradiente da função dada.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para eu determinar o vetor gradiente dessa função.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é
definida por . - As variáveis independentes são
, e .
O que é pedido explicitamente: calcular, isto é, o vetor cujas componentes são as derivadas parciais , e .
Passo 2
O que é o gradiente?
O gradiente de uma função é o vetor formado pelas suas derivadas parciais:
O gradiente de uma função
Intuição rápida: cada componente diz como
muda se eu variar só uma variável (mantendo as outras fixas). Na prova, quando pedirem
, você calcula essas três derivadas parciais.
Passo 3
Estratégia para calcular as parciais (a ideia que vou usar):
é composta por
de uma função
. Vou aplicar a regra da cadeia. Lembrete da regra da cadeia simples:
se e
, então
se
Aqui
vem da derivada de
e
é a derivada da parte interna.
Passo 4
Defino a função interna
Agora calculo as derivadas parciais de
. Ao derivar em relação a uma variável, trato as outras como constantes:
Explicando rápido: por exemplo,
porque
e
são constantes multiplicando
.
Passo 5
Calculo agora
usando a regra da cadeia:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Faço o mesmo para as outras duas variáveis:
Cada uma segue a mesma ideia: derivada de
dá
e multiplico pela derivada da parte interna em relação à variável considerada.
Passo 7
Agora reúno as três componentes para escrever o gradiente. Posso fatorar o fator comum
:
Esse é o resultado final. Uma forma equivalente, escrevendo componente a componente, é
Exemplo numérico rápido para fixar: se
então
,
é o fator comum e o gradiente vale
.