Encontre a derivada direcional de
na direção do vetor indicado.
na direção de
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
na direção do vetor dado. Dados fornecidos:
e
Pergunta clara: calcular a derivada direcional de
na direção de
. Nota: como a derivada direcional usa um vetor unitário, teremos que normalizar
antes de aplicar a definição.
Passo 2
Relembrando a definição (passo didático): se
é diferenciável, a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
é dada por
onde
é o gradiente de
. O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Explicando de forma simples: cada componente do gradiente mostra a taxa de variação de
ao variar só uma coordenada; então o produto escalar com
combina essas taxas conforme a direção escolhida.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
:
Portanto o gradiente é
Passo 4
Normalizar o vetor direção: primeiro calcule a norma de
:
Logo o vetor unitário correspondente é
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Fazendo o produto escalar componente a componente:
Multiplicando e somando:
Calcule os produtos no numerador:
portanto
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: essa expressão dá a taxa de variação de
no ponto
quando nos movemos na direção de
. Se você quiser um número em um ponto específico, basta substituir
e
. Por exemplo, em
teríamos
. Vai dar certo — respira, pratique mais alguns pontos desse tipo e fica mais automático.