Encontre a derivada direcional de f na direção do vetor indicado.
f(x, y, z)=x^{2}+y-8 z^{2} na direção de \vec{v}=\langle 4,1,-2\rangle

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f na direção do vetor dado. Dados fornecidos:
f(x,y,z)=x^{2}+y-8z^{2}
e
\vec{v}=\langle 4,1,-2\rangle.
Pergunta clara: calcular a derivada direcional de f na direção de \vec{v}. Nota: como a derivada direcional usa um vetor unitário, teremos que normalizar \vec{v} antes de aplicar a definição.

Passo 2

Relembrando a definição (passo didático): se f é diferenciável, a derivada direcional de f no ponto (x,y,z) na direção do vetor unitário \vec{u} é dada por
D_{\vec{u}}f(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)\cdot \vec{u},
onde \nabla f é o gradiente de f. O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Explicando de forma simples: cada componente do gradiente mostra a taxa de variação de f ao variar só uma coordenada; então o produto escalar com \vec{u} combina essas taxas conforme a direção escolhida.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=-16z.
Portanto o gradiente é
\displaystyle \nabla f(x,y,z)=\langle 2x,\,1,\,-16z\rangle.

Passo 4

Normalizar o vetor direção: primeiro calcule a norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{4^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}.
Logo o vetor unitário correspondente é
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left\langle \frac{4}{\sqrt{21}},\,\frac{1}{\sqrt{21}},\,\frac{-2}{\sqrt{21}}\right\rangle.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional:
D_{\vec{u}}f(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)\cdot \vec{u}.
Fazendo o produto escalar componente a componente:
D_{\vec{u}}f(x,y,z)=\langle 2x,\,1,\,-16z\rangle\cdot \left\langle \frac{4}{\sqrt{21}},\,\frac{1}{\sqrt{21}},\,\frac{-2}{\sqrt{21}}\right\rangle.
Multiplicando e somando:
D_{\vec{u}}f(x,y,z)=\frac{2x\cdot 4 + 1\cdot 1 + (-16z)\cdot(-2)}{\sqrt{21}}.
Calcule os produtos no numerador:
2x\cdot 4 = 8x,\qquad (-16z)\cdot(-2)=32z,
portanto
D_{\vec{u}}f(x,y,z)=\frac{8x+1+32z}{\sqrt{21}}.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: essa expressão dá a taxa de variação de f no ponto (x,y,z) quando nos movemos na direção de \vec{v}. Se você quiser um número em um ponto específico, basta substituir x e z. Por exemplo, em (1,0,0) teríamos D_{\vec{u}}f(1,0,0)=\dfrac{8\cdot1+1+32\cdot0}{\sqrt{21}}=\dfrac{9}{\sqrt{21}}. Vai dar certo — respira, pratique mais alguns pontos desse tipo e fica mais automático.

Resposta

\dfrac{8x+1+32z}{\sqrt{21}}

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