Encontre a derivada direcional de
na direção do vetor indicado.
na direção de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada direcional de
na direção do vetor indicado.
Dados fornecidos: e
.
Observação importante: o enunciado não dá um ponto específico , então vamos obter a expressão da derivada direcional em função de
— ou seja, um valor que depende da posição onde avaliarmos a derivada direcional.
Dados fornecidos:
Observação importante: o enunciado não dá um ponto específico
Passo 2
O que é a derivada direcional e como vamos calculá‑la na prática: a derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
mede a taxa de variação de
quando nos movemos numa pequena etapa na direção de
. A fórmula prática e conveniente é
onde
(o gradiente) é o vetor formado pelas derivadas parciais de
. Aqui cada passo tem sentido físico:
aponta para onde
cresce mais rapidamente, e o produto escalar com
pega a componente dessa taxa na direção desejada.
Passo 3
Calcular o gradiente
: por definição
. Vamos derivar cada parcela de
:
,
,
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Precisamos do vetor unitário
na direção de
. Nunca use diretamente
na fórmula da derivada direcional — a derivada direcional é por unidade de comprimento — então normalizamos:
Calcule o comprimento (norma) de
:
Passo 5
Obtemos o vetor unitário dividindo cada componente por
:
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula
. Fazendo o produto escalar:
Calcule cada termo: o primeiro é
. O segundo é
. O terceiro é
. Somando,
Essa é a expressão da derivada direcional de
na direção de
, válida em qualquer ponto
.
Passo 7
Como usar isso na prova: se te derem um ponto concreto
, basta substituir na expressão final. Exemplo rápido de checagem (não pedido, só para praticar): em
teríamos
. Isso mostra o passo a passo útil na prova — calcule
, normalize
, faça o produto escalar, substitua o ponto se for necessário. Força aí — você consegue!