Encontre a derivada direcional de f na direção do vetor indicado.
f(x, y, z)=x^{2}-y^{2}-z^{2} na direção de \vec{v}=\langle 0,3,-2\rangle

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada direcional de f na direção do vetor indicado.
Dados fornecidos: f(x,y,z)=x^{2}-y^{2}-z^{2} e \vec{v}=\langle 0,3,-2\rangle.
Observação importante: o enunciado não dá um ponto específico (x,y,z), então vamos obter a expressão da derivada direcional em função de (x,y,z) — ou seja, um valor que depende da posição onde avaliarmos a derivada direcional.

Passo 2

O que é a derivada direcional e como vamos calculá‑la na prática: a derivada direcional de f na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de f quando nos movemos numa pequena etapa na direção de \mathbf{u}. A fórmula prática e conveniente é
D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f (o gradiente) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Aqui cada passo tem sentido físico: \nabla f aponta para onde f cresce mais rapidamente, e o produto escalar com \mathbf{u} pega a componente dessa taxa na direção desejada.

Passo 3

Calcular o gradiente \nabla f: por definição \nabla f=\left\langle\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right\rangle. Vamos derivar cada parcela de f(x,y,z)=x^{2}-y^{2}-z^{2}:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x, \frac{\partial f}{\partial y}=-2y, \frac{\partial f}{\partial z}=-2z.
Portanto
\nabla f=\langle 2x,\,-2y,\,-2z\rangle.

Passo 4

Precisamos do vetor unitário \mathbf{u} na direção de \vec{v}. Nunca use diretamente \vec{v} na fórmula da derivada direcional — a derivada direcional é por unidade de comprimento — então normalizamos:
\mathbf{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
Calcule o comprimento (norma) de \vec{v}=\langle 0,3,-2\rangle:
\|\vec{v}\|=\sqrt{0^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.

Passo 5

Obtemos o vetor unitário dividindo cada componente por \sqrt{13}:
\mathbf{u}=\left\langle 0,\frac{3}{\sqrt{13}},\,-\frac{2}{\sqrt{13}}\right\rangle.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u}. Fazendo o produto escalar:
\nabla f\cdot\mathbf{u}=(2x)\cdot 0+(-2y)\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}+(-2z)\cdot\left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right).
Calcule cada termo: o primeiro é 0. O segundo é -\dfrac{6y}{\sqrt{13}}. O terceiro é +\dfrac{4z}{\sqrt{13}}. Somando,
D_{\mathbf{u}}f=\frac{4z-6y}{\sqrt{13}}.
Essa é a expressão da derivada direcional de f na direção de \vec{v}, válida em qualquer ponto (x,y,z).

Passo 7

Como usar isso na prova: se te derem um ponto concreto (x_{0},y_{0},z_{0}), basta substituir na expressão final. Exemplo rápido de checagem (não pedido, só para praticar): em (1,2,0) teríamos D_{\mathbf{u}}f=\dfrac{4\cdot 0-6\cdot 2}{\sqrt{13}}=-\dfrac{12}{\sqrt{13}}. Isso mostra o passo a passo útil na prova — calcule \nabla f, normalize \vec{v}, faça o produto escalar, substitua o ponto se for necessário. Força aí — você consegue!

Resposta

\dfrac{4z-6y}{\sqrt{13}}

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