Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados. Em seguida, determine a taxa de variação de 
  em 
  na direção do vetor 
 .
b) 
 
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o vetor gradiente da função 
  no ponto 
  e depois determinar a taxa de variação dessa função na direção do vetor 
 . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o vetor gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função 
 . O vetor gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a 
  e 
 . Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de 
  em relação a 
 :
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de 
  em relação a 
 :
Passo 5
Com essas derivadas parciais, o vetor gradiente fica:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto 
 . Substituindo 
  e 
 :
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Portanto, o vetor gradiente em 
  é:
Passo 7
Agora, vamos determinar a taxa de variação de 
  na direção do vetor 
 . Primeiro, precisamos garantir que 
  seja um vetor unitário. A fórmula para a derivada direcional é:
Onde 
  é o vetor unitário na direção de 
 . Calculando a magnitude de 
 :
Então, 
 .
Passo 8
Agora, aplicamos a fórmula:
Resposta
A taxa de variação de 
  no ponto 
  na direção do vetor 
  é 
 .