38 A área total de um cilindro equilátero é igual à área lateral de um cone circular reto com 12 cm de altura e 5 cm de raio da base. Calcule a área lateral do cilindro.

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro equilátero (altura igual ao diâmetro) e de um cone reto com altura de 12,cm e raio da base de 5,cm. Sabemos que a área total do cilindro é igual à área lateral do cone. Vamos calcular primeiro a área lateral do cone, depois expressar a área total do cilindro em função do raio r, igualar as duas e, por fim, determinar a área lateral do cilindro.

Passo 2

No cone reto, o raio da base é 5,cm e a altura é 12,cm. A geratriz g vem de
g=raiz12^2+5^2=raiz144+25=raiz169=13 cm
A área lateral do cone é
Alat,cone=picdot rcdot g=picdot 5cdot 13=65pi cm^2

Passo 3

No cilindro equilátero, se o raio é r, a altura é h=2r.
A área lateral do cilindro é
Alat,cyl=2pi r h=2pi r,(2r)=4pi r^2
e as duas bases somam
2pi r^2
Logo a área total do cilindro é
Atot,cyl=4pi r^2+2pi r^2=6pi r^2
Como essa área total é igual a 65pi, temos
6pi r^2 = 65pi Longrightarrow r^2=656

Passo 4

Com r^2=tfrac656, a área lateral do cilindro vale
Alat,cyl=4pi r^2 =4picdot656 =260pi6 =130pi3 cm^2

Resposta

130pi3 cm^2

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