Determine o vetor normal unitário \mathbf{N}(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
\mathbf{N}(t)=\frac{d \widehat{\mathbf{T}} / d t}{\|d \widehat{\mathbf{T}} / d t\|}
onde \widehat{\mathbf{T}}(t) é o vetor tangente unitário.
(a) \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}-2 t^{2} \mathbf{j}+3 t^{3} \mathbf{k}
(b) \mathbf{r}(t)=a \sin (\omega t) \mathbf{i}+a \cos (\omega t) \mathbf{k}
(c) \mathbf{r}(t)=\cos t \sin t \mathbf{i}+\sin ^{2} t \mathbf{j}+\cos t \mathbf{k}
(d) \mathbf{r}(t)=a \cos t \mathbf{i}+b \sin t \mathbf{j}+t \mathbf{k}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se o vetor normal unitário \mathbf{N}(t) para cada curva, usando a definição fornecida:
\mathbf{N}(t)=\frac{d \widehat{\mathbf{T}}/dt}{\|d \widehat{\mathbf{T}}/dt\|},
onde \widehat{\mathbf{T}}(t) é o vetor tangente unitário.
  • As curvas dadas são:
    • (a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}-2t^{2}\,\mathbf{j}+3t^{3}\,\mathbf{k}.
    • (b) \displaystyle \mathbf{r}(t)=a\sin(\omega t)\,\mathbf{i}+a\cos(\omega t)\,\mathbf{k}.
    • (c) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\cos t\sin t\,\mathbf{i}+\sin^{2}t\,\mathbf{j}+\cos t\,\mathbf{k}.
    • (d) \displaystyle \mathbf{r}(t)=a\cos t\,\mathbf{i}+b\sin t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k}.
Informações relevantes que vêm do enunciado:
  • A definição de \mathbf{N}(t) e que \widehat{\mathbf{T}}(t) é o vetor tangente unitário (logo \widehat{\mathbf{T}}=\mathbf{r}'/\|\mathbf{r}'\|).
  • Para cada curva será preciso calcular \mathbf{r}'(t), \mathbf{r}''(t), o vetor tangente unitário \widehat{\mathbf{T}}(t), e então d\widehat{\mathbf{T}}/dt e sua norma.

Passo 2

Truque útil e demonstração rápida (isso simplifica muito os cálculos): expressão alternativa para \mathbf{N}(t).
  • Começamos por lembrar que \widehat{\mathbf{T}}=\dfrac{\mathbf{r}'}{\|\mathbf{r}'\|}.
  • Diferenciando, usando a regra do quociente e a identidade \dfrac{d}{dt}\|\mathbf{r}'\| = \dfrac{\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}''}{\|\mathbf{r}'\|}, chega-se à forma
\frac{d\widehat{\mathbf{T}}}{dt}=\frac{\mathbf{r}''- (\mathbf{r}''\cdot\widehat{\mathbf{T}})\widehat{\mathbf{T}}}{\|\mathbf{r}'\|}.
  • Observação importante: ao normalizar \dfrac{d\widehat{\mathbf{T}}}{dt} para obter \mathbf{N}, o fator escalar 1/\|\mathbf{r}'\| NÃO altera a direção, então cancela na normalização. Assim podemos usar a forma prática
\mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{r}''(t)-\dfrac{(\mathbf{r}''(t)\cdot\mathbf{r}'(t))}{\|\mathbf{r}'(t)\|^{2}}\mathbf{r}'(t)} {\left\|\mathbf{r}''(t)-\dfrac{(\mathbf{r}''(t)\cdot\mathbf{r}'(t))}{\|\mathbf{r}'(t)\|^{2}}\mathbf{r}'(t)\right\|}.
  • Outra forma equivalente e prática para cálculo é definir
\mathbf{U}(t)=\|\mathbf{r}'(t)\|^{2}\,\mathbf{r}''(t)-(\mathbf{r}''(t)\cdot\mathbf{r}'(t))\,\mathbf{r}'(t).
Então \mathbf{N}(t) tem a mesma direção de \mathbf{U}(t), e
\mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{U}(t)}{\|\mathbf{U}(t)\|}.
Usar \mathbf{U} evita frações intermediárias e facilita simplificação algébrica. Vamos aplicar isso em cada item.

Passo 3

Parte (a). Cálculos passo a passo.
  • Primeiro calcule \mathbf{r}'(t) e \mathbf{r}''(t):
\mathbf{r}'(t)=\langle 1,\,-4t,\;9t^{2}\rangle, \qquad \mathbf{r}''(t)=\langle 0,\,-4,\;18t\rangle.
  • Calcule \|\mathbf{r}'\|^{2} e \mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}':
\|\mathbf{r}'\|^{2}=1+16t^{2}+81t^{4}, \qquad \mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}'=16t+162t^{3}.
  • Forme \mathbf{U}(t)=\|\mathbf{r}'\|^{2}\mathbf{r}''-(\mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}')\mathbf{r}'. Multiplicando e simplificando (multiplicando pela escala \|\mathbf{r}'\|^{2} evita frações), obtemos
\mathbf{U}(t)=\big\langle -\big(16t+162t^{3}\big),\; -4+324t^{4},\;18t+144t^{3}\big\rangle.
(esta expressão vem de \|\mathbf{r}'\|^{2}\mathbf{r}'' - (\mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}')\mathbf{r}' com os produtos e cancelamentos mostrados no cálculo.)
  • Logo o vetor normal unitário é
\mathbf{N}(t)=\frac{\big\langle -\big(16t+162t^{3}\big),\; -4+324t^{4},\;18t+144t^{3}\big\rangle} {\sqrt{\big(16t+162t^{3}\big)^{2}+\big(-4+324t^{4}\big)^{2}+\big(18t+144t^{3}\big)^{2}}}.

Passo 4

Parte (b). Cálculo direto e simplificação.
  • Diferencie:
\mathbf{r}'(t)=\langle a\omega\cos(\omega t),\;0,\;-a\omega\sin(\omega t)\rangle.
  • A velocidade (norma de \mathbf{r}') é
\|\mathbf{r}'(t)\|=a\omega\sqrt{\cos^{2}(\omega t)+\sin^{2}(\omega t)}=a\omega.
  • O vetor tangente unitário é
\widehat{\mathbf{T}}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}=\langle \cos(\omega t),\;0,\;-\sin(\omega t)\rangle.
  • Diferenciando \widehat{\mathbf{T}}(t):
\frac{d\widehat{\mathbf{T}}}{dt}=\langle -\omega\sin(\omega t),\;0,\;-\omega\cos(\omega t)\rangle = -\omega\langle \sin(\omega t),\;0,\;\cos(\omega t)\rangle.
  • A norma desta derivada é \omega. Normalizando obtemos
\mathbf{N}(t)=\frac{-\omega\langle \sin(\omega t),\;0,\;\cos(\omega t)\rangle}{\omega} =\langle -\sin(\omega t),\;0,\;-\cos(\omega t)\rangle.

Passo 5

Parte (c). Cálculos passo a passo e simplificação.
  • Primeiro note que \cos t\sin t=\tfrac{1}{2}\sin 2t. Diferenciando diretamente:
\mathbf{r}'(t)=\langle \cos 2t,\;\sin 2t,\; -\sin t\rangle, \qquad \mathbf{r}''(t)=\langle -2\sin 2t,\;2\cos 2t,\; -\cos t\rangle.
  • Calcule \|\mathbf{r}'\|^{2} e \mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}':
\|\mathbf{r}'\|^{2}=\cos^{2}2t+\sin^{2}2t+\sin^{2}t=1+\sin^{2}t, \qquad \mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}'=\sin t\cos t.
  • Forme \mathbf{U}(t)=\|\mathbf{r}'\|^{2}\mathbf{r}''-(\mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}')\mathbf{r}'. Após simplificações (substituições \sin 2t=2\sin t\cos t, \cos 2t=\cos^{2}t-\sin^{2}t e cancelamentos) encontra-se
\mathbf{U}(t)=\big\langle -\sin t\cos t\big(5+2\sin^{2}t\big),\;2\big(1-2\sin^{2}t-\sin^{4}t\big),\; -\cos t\big\rangle.
  • Assim o vetor normal unitário é
\mathbf{N}(t)=\frac{\big\langle -\sin t\cos t\big(5+2\sin^{2}t\big),\;2\big(1-2\sin^{2}t-\sin^{4}t\big),\; -\cos t\big\rangle} {\sqrt{\big[\sin t\cos t\big(5+2\sin^{2}t\big)\big]^{2}+\big[2(1-2\sin^{2}t-\sin^{4}t)\big]^{2}+\cos^{2}t}}.

Passo 6

Parte (d). Cálculos passo a passo e grande simplificação surpreendente.
  • Diferencie:
\mathbf{r}'(t)=\langle -a\sin t,\;b\cos t,\;1\rangle, \qquad \mathbf{r}''(t)=\langle -a\cos t,\;-b\sin t,\;0\rangle.
  • Calcule \|\mathbf{r}'\|^{2} e \mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}':
\|\mathbf{r}'\|^{2}=a^{2}\sin^{2}t+b^{2}\cos^{2}t+1, \qquad \mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}'=(a^{2}-b^{2})\sin t\cos t.
  • Forme \mathbf{U}(t)=\|\mathbf{r}'\|^{2}\mathbf{r}''-(\mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}')\mathbf{r}'. Ao expandir e simplificar os termos observa-se que muitos cancelamentos ocorrem, ficando
\mathbf{U}(t)=\big\langle -a(1+b^{2})\cos t,\; -b(1+a^{2})\sin t,\; (b^{2}-a^{2})\sin t\cos t\big\rangle.
  • Portanto o vetor normal unitário é
\mathbf{N}(t)=\frac{\big\langle -a(1+b^{2})\cos t,\; -b(1+a^{2})\sin t,\; (b^{2}-a^{2})\sin t\cos t\big\rangle} {\sqrt{a^{2}(1+b^{2})^{2}\cos^{2}t+b^{2}(1+a^{2})^{2}\sin^{2}t+(b^{2}-a^{2})^{2}\sin^{2}t\cos^{2}t}}.

Passo 7

Recado final rápido e incentivo (isso ajuda na prova).
  • A ideia-chave que usei e que ajuda muito em prova é: em lugar de diferenciar explicitamente \widehat{\mathbf{T}} com muitas frações, calcule \mathbf{U}=\|\mathbf{r}'\|^{2}\mathbf{r}''-(\mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}')\mathbf{r}'. Esse vetor tem a mesma direção que d\widehat{\mathbf{T}}/dt, e aí basta normalizar \mathbf{U} para obter \mathbf{N}. Isso reduz erros algébricos e frações feias.
  • Boa notícia: você já tem todos os passos para aplicar isso rapidamente em prova: calcular \mathbf{r}', \mathbf{r}'', \|\mathbf{r}'\|^{2}, \mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}', formar \mathbf{U} e depois normalizar.
  • Vai dar certo — com calma e seguindo estes passos você resolve os itens sem se enrolar.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{N}(t)=\frac{\big\langle -\big(16t+162t^{3}\big),\; -4+324t^{4},\;18t+144t^{3}\big\rangle} {\sqrt{\big(16t+162t^{3}\big)^{2}+\big(-4+324t^{4}\big)^{2}+\big(18t+144t^{3}\big)^{2}}}
(b) \displaystyle \mathbf{N}(t)=\big\langle -\sin(\omega t),\;0,\;-\cos(\omega t)\big\rangle
(c) \displaystyle \mathbf{N}(t)=\frac{\big\langle -\sin t\cos t\big(5+2\sin^{2}t\big),\;2\big(1-2\sin^{2}t-\sin^{4}t\big),\; -\cos t\big\rangle} {\sqrt{\big[\sin t\cos t\big(5+2\sin^{2}t\big)\big]^{2}+\big[2(1-2\sin^{2}t-\sin^{4}t)\big]^{2}+\cos^{2}t}}
(d) \displaystyle \mathbf{N}(t)=\frac{\big\langle -a(1+b^{2})\cos t,\; -b(1+a^{2})\sin t,\; (b^{2}-a^{2})\sin t\cos t\big\rangle} {\sqrt{a^{2}(1+b^{2})^{2}\cos^{2}t+b^{2}(1+a^{2})^{2}\sin^{2}t+(b^{2}-a^{2})^{2}\sin^{2}t\cos^{2}t}}

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