Determine o vetor normal unitário \mathbf{N}(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
\mathbf{N}(t)=\frac{d \widehat{\mathbf{T}} / d t}{\|d \widehat{\mathbf{T}} / d t\|}
onde \widehat{\mathbf{T}}(t) é o vetor tangente unitário.
(a) \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}-2 t^{2} \mathbf{j}+3 t^{3} \mathbf{k}
(b) \mathbf{r}(t)=a \sin (\omega t) \mathbf{i}+a \cos (\omega t) \mathbf{k}
(c) \mathbf{r}(t)=\cos t \sin t \mathbf{i}+\sin ^{2} t \mathbf{j}+\cos t \mathbf{k}
(d) \mathbf{r}(t)=a \cos t \mathbf{i}+b \sin t \mathbf{j}+t \mathbf{k}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
Pede-se o vetor normal unitário \mathbf{N}(t) para cada curva, usando a definição fornecida:
A definição de \mathbf{N}(t) e que \widehat{\mathbf{T}}(t) é o vetor tangente unitário (logo \widehat{\mathbf{T}}=\mathbf{r}'/\|\mathbf{r}'\|).
Para cada curva será preciso calcular \mathbf{r}'(t), \mathbf{r}''(t), o vetor tangente unitário \widehat{\mathbf{T}}(t), e então d\widehat{\mathbf{T}}/dt e sua norma.
Passo 2
Truque útil e demonstração rápida (isso simplifica muito os cálculos): expressão alternativa para \mathbf{N}(t).
Começamos por lembrar que \widehat{\mathbf{T}}=\dfrac{\mathbf{r}'}{\|\mathbf{r}'\|}.
Diferenciando, usando a regra do quociente e a identidade \dfrac{d}{dt}\|\mathbf{r}'\| = \dfrac{\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}''}{\|\mathbf{r}'\|}, chega-se à forma
Observação importante: ao normalizar \dfrac{d\widehat{\mathbf{T}}}{dt} para obter \mathbf{N}, o fator escalar 1/\|\mathbf{r}'\| NÃO altera a direção, então cancela na normalização. Assim podemos usar a forma prática
Forme \mathbf{U}(t)=\|\mathbf{r}'\|^{2}\mathbf{r}''-(\mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}')\mathbf{r}'. Multiplicando e simplificando (multiplicando pela escala \|\mathbf{r}'\|^{2} evita frações), obtemos
(esta expressão vem de \|\mathbf{r}'\|^{2}\mathbf{r}'' - (\mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}')\mathbf{r}' com os produtos e cancelamentos mostrados no cálculo.)
Calcule \|\mathbf{r}'\|^{2} e \mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}':
\|\mathbf{r}'\|^{2}=\cos^{2}2t+\sin^{2}2t+\sin^{2}t=1+\sin^{2}t, \qquad \mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}'=\sin t\cos t.
Forme \mathbf{U}(t)=\|\mathbf{r}'\|^{2}\mathbf{r}''-(\mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}')\mathbf{r}'. Após simplificações (substituições \sin 2t=2\sin t\cos t, \cos 2t=\cos^{2}t-\sin^{2}t e cancelamentos) encontra-se
Calcule \|\mathbf{r}'\|^{2} e \mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}':
\|\mathbf{r}'\|^{2}=a^{2}\sin^{2}t+b^{2}\cos^{2}t+1, \qquad \mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}'=(a^{2}-b^{2})\sin t\cos t.
Forme \mathbf{U}(t)=\|\mathbf{r}'\|^{2}\mathbf{r}''-(\mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}')\mathbf{r}'. Ao expandir e simplificar os termos observa-se que muitos cancelamentos ocorrem, ficando
Recado final rápido e incentivo (isso ajuda na prova).
A ideia-chave que usei e que ajuda muito em prova é: em lugar de diferenciar explicitamente \widehat{\mathbf{T}} com muitas frações, calcule \mathbf{U}=\|\mathbf{r}'\|^{2}\mathbf{r}''-(\mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}')\mathbf{r}'. Esse vetor tem a mesma direção que d\widehat{\mathbf{T}}/dt, e aí basta normalizar \mathbf{U} para obter \mathbf{N}. Isso reduz erros algébricos e frações feias.
Boa notícia: você já tem todos os passos para aplicar isso rapidamente em prova: calcular \mathbf{r}', \mathbf{r}'', \|\mathbf{r}'\|^{2}, \mathbf{r}''\cdot\mathbf{r}', formar \mathbf{U} e depois normalizar.
Vai dar certo — com calma e seguindo estes passos você resolve os itens sem se enrolar.