10- Determinado reservatório se encontra a 20 m de altura do solo. A 10 m do solo há uma redução de diâmetro de 3 " para 1 " e no ponto de lançamento (cujo lançamento é horizontal), a 2 m do solo, há uma redução para 3^{\prime \prime}. Se g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, a velocidade de lançamento da água é igual a:

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi informado):
  • A superfície livre do reservatório está a 20\\ \mathrm{m} do solo.
  • O ponto de lançamento (boca do jato) está a 2\\ \mathrm{m} do solo.
  • A aceleração da gravidade é g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O lançamento é horizontal.
  • Há menção a reduções de diâmetro em trechos (uma redução a 10\\ \mathrm{m} do solo e outra no ponto de lançamento), mas o enunciado não fornece perdas por atrito, nem coeficientes de perda local (nem vazão).
    O que o problema pede:
  • Calcular a velocidade de lançamento da água (velocidade do jato ao sair horizontalmente).

Passo 2

Entendimento físico e hipóteses necessárias para resolver a questão de forma clássica e aplicada em prova.
Explicando devagar (sem pular etapas): para encontrar a velocidade de saída de um fluido que sai de um sistema abastecido por um reservatório, usa-se a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e a boca do jato. A equação de Bernoulli, para um escoamento incompressível, estacionário e ao longo de uma linha de corrente, é:
p+\rho g z+\tfrac{1}{2}\rho v^{2}=\text{constante} - \rho g h_{L},
onde:
  • p é a pressão local (em Pa),
  • \rho é a massa específica do fluido (em \mathrm{kg/m^{3}}),
  • z é a cota vertical (em m),
  • v é a velocidade do fluido (em \mathrm{m/s}),
  • h_{L} representa as perdas de carga entre os dois pontos (em m, multiplicadas por \rho g na forma de energia).
Na prática de prova, entre a superfície livre do reservatório (ponto 1) e a boca do jato (ponto 2) costuma-se escrever:
p_{1}+\rho g z_{1}+\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+\rho g z_{2}+\tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho g h_{L}.
Agora vamos analisar termos um a um usando os dados.

Passo 3

Aplicando os dados ao Bernoulli e simplificando com argumentos físicos.
  1. Pressões atmosféricas: a superfície livre do reservatório está em contato com a atmosfera e a boca do jato também está exposta à atmosfera. Logo
p_{1}=p_{2}=\text{pressão atmosférica},ãé
essas pressões se cancelam na equação.
  1. Velocidade da superfície livre: a superfície do reservatório tem área muito maior que a seção da tubulação; portanto sua velocidade é desprezível. Assim
v_{1}\approx 0.
  1. Diferença de cota: a perda de energia potencial entre superfície e boca é dada por z_{1}-z_{2}. Com os dados:
z_{1}=20\\ \mathrm{m},\qquad z_{2}=2\\ \mathrm{m},
portanto a queda de cota é
\Delta z = z_{1}-z_{2}=20-2=18\\ \mathrm{m}.
  1. Sobre as reduções de diâmetro: para incluir perdas locais seria necessário conhecer coeficientes de perda ou a vazão/velocidades nos trechos. O enunciado não fornece esses coeficientes nem a vazão. Em problemas típicos de prova, quando não são dadas perdas locais nem rugosidade, assume-se que as perdas são desprezíveis ou que o objetivo é usar a forma simplificada de Torricelli. Assim adotamos h_{L}\approx 0. (Se fosse necessário incluir perdas, precisaríamos dos coeficientes de contração/expansão ou do comprimento e rugosidade do tubo para avaliar h_{L}.)
Com essas hipóteses, a equação de Bernoulli reduz para:
\rho g \, \Delta z = \tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2},
ou, simplificando \rho,
\tfrac{1}{2}v_{2}^{2}=g\,\Delta z.

Passo 4

Isolando a velocidade e explicando a fórmula (fórmula de Torricelli).
A partir de
\tfrac{1}{2}v^{2}=g\,\Delta z
temos a expressão clássica de Torricelli para velocidade de jato a partir de uma queda de altura:
v=\sqrt{2g\,\Delta z},
onde:
  • v é a velocidade de saída (em \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),
  • \Delta z é a diferença de cota entre superfície livre e saída (em m).
Essa fórmula vem diretamente do balanço entre energia potencial perdida e energia cinética adquirida, quando perdas são desprezíveis.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo.
Substituindo g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e \Delta z=18\\ \mathrm{m} em
v=\sqrt{2g\,\Delta z},
temos
v=\sqrt{2\cdot 10\cdot 18}=\sqrt{360}.
Agora calculamos a raiz:
\sqrt{360}\approx 18{,}973\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma usual para três dígitos significativos:
v\approx 18{,}97\\ \mathrm{m/s}\approx 19{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v\approx 18{,}97\\ \mathrm{m/s}

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