10- Determinado reservatório se encontra a 20 m de altura do solo. A 10 m do solo há uma redução de diâmetro de 3 " para 1 " e no ponto de lançamento (cujo lançamento é horizontal), a 2 m do solo, há uma redução para
. Se
, a velocidade de lançamento da água é igual a:
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi informado):
- A superfície livre do reservatório está a
do solo. - O ponto de lançamento (boca do jato) está a
do solo. - A aceleração da gravidade é
. - O lançamento é horizontal.
- Há menção a reduções de diâmetro em trechos (uma redução a
do solo e outra no ponto de lançamento), mas o enunciado não fornece perdas por atrito, nem coeficientes de perda local (nem vazão).
O que o problema pede: - Calcular a velocidade de lançamento da água (velocidade do jato ao sair horizontalmente).
Passo 2
Entendimento físico e hipóteses necessárias para resolver a questão de forma clássica e aplicada em prova.
Explicando devagar (sem pular etapas): para encontrar a velocidade de saída de um fluido que sai de um sistema abastecido por um reservatório, usa-se a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e a boca do jato. A equação de Bernoulli, para um escoamento incompressível, estacionário e ao longo de uma linha de corrente, é:
onde:
-
é a pressão local (em Pa), -
é a massa específica do fluido (em ), -
é a cota vertical (em m), -
é a velocidade do fluido (em ), -
representa as perdas de carga entre os dois pontos (em m, multiplicadas por na forma de energia).
Na prática de prova, entre a superfície livre do reservatório (ponto 1) e a boca do jato (ponto 2) costuma-se escrever:
Agora vamos analisar termos um a um usando os dados.
Passo 3
Aplicando os dados ao Bernoulli e simplificando com argumentos físicos.
- Pressões atmosféricas: a superfície livre do reservatório está em contato com a atmosfera e a boca do jato também está exposta à atmosfera. Logo
essas pressões se cancelam na equação.
- Velocidade da superfície livre: a superfície do reservatório tem área muito maior que a seção da tubulação; portanto sua velocidade é desprezível. Assim
- Diferença de cota: a perda de energia potencial entre superfície e boca é dada por
. Com os dados:
portanto a queda de cota é
- Sobre as reduções de diâmetro: para incluir perdas locais seria necessário conhecer coeficientes de perda ou a vazão/velocidades nos trechos. O enunciado não fornece esses coeficientes nem a vazão. Em problemas típicos de prova, quando não são dadas perdas locais nem rugosidade, assume-se que as perdas são desprezíveis ou que o objetivo é usar a forma simplificada de Torricelli. Assim adotamos
. (Se fosse necessário incluir perdas, precisaríamos dos coeficientes de contração/expansão ou do comprimento e rugosidade do tubo para avaliar .)
Com essas hipóteses, a equação de Bernoulli reduz para:
ou, simplificando
,
Passo 4
Isolando a velocidade e explicando a fórmula (fórmula de Torricelli).
A partir de
temos a expressão clássica de Torricelli para velocidade de jato a partir de uma queda de altura:
onde:
-
é a velocidade de saída (em ), -
é a aceleração da gravidade (em ), -
é a diferença de cota entre superfície livre e saída (em m).
Essa fórmula vem diretamente do balanço entre energia potencial perdida e energia cinética adquirida, quando perdas são desprezíveis.
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo.
Substituindo
e
em
temos
Agora calculamos a raiz:
Arredondando de forma usual para três dígitos significativos: