Determine o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto indicado da curva.
\mathbf{r}(t)=\operatorname{sen} t \mathbf{i}+5 t \mathbf{j}+\cos t \mathbf{k}, \quad(0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) num ponto da curva
\mathbf{r}(t)=\operatorname{sen} t\,\mathbf{i}+5t\,\mathbf{j}+\cos t\,\mathbf{k}.
O conteúdo é cálculo de vetor tangente unitário para funções vetoriais: precisamos achar a derivada \mathbf{r}'(t), determinar o parâmetro t_0 que gera o ponto dado, calcular a norma \|\mathbf{r}'(t_0)\| e, por fim, normalizar.

Passo 2

Encontrar t_0 tal que
\mathbf{r}(t_0)=(0,0,1).
Isso dá o sistema
\operatorname{sen} t_0=0,\quad 5\,t_0=0,\quad \cos t_0=1,
cuja solução é
t_0=0.

Passo 3

Calcular a derivada
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl\langle \operatorname{sen} t,\;5t,\;\cos t\bigr\rangle =\bigl\langle \cos t,\;5,\;-\,\operatorname{sen} t\bigr\rangle.

Passo 4

Avaliar em t_0=0:
\mathbf{r}'(0)=\bigl\langle \cos0,\;5,\;-\sen0\bigr\rangle =\langle 1,\;5,\;0\rangle.

Passo 5

Calcular a norma
\|\mathbf{r}'(0)\| =\sqrt{1^2+5^2+0^2} =\sqrt{26}.

Passo 6

Normalizar para obter o vetor tangente unitário
\mathbf{T}(0) =\frac{\mathbf{r}'(0)}{\|\mathbf{r}'(0)\|} =\frac{1}{\sqrt{26}}\bigl\langle 1,\,5,\,0\bigr\rangle =\bigl\langle \tfrac{1}{\sqrt{26}},\,\tfrac{5}{\sqrt{26}},\,0\bigr\rangle.

Resposta

\mathbf{T}(0) =\bigl\langle \tfrac{1}{\sqrt{26}},\,\tfrac{5}{\sqrt{26}},\,0\bigr\rangle.

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