Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
\mathbf{r}(t)=e^{t} \mathbf{i}+e^{-t} \mathbf{j}
\mathbf{r}(t)=e^{t} \mathbf{i}+e^{-t} \mathbf{j}
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva definida pelo vetor
indicando a direção em que
cresce. O conteúdo envolve curvas paramétricas no plano e eliminação de parâmetro para identificar a forma da curva.
Passo 2
Identificamos as coordenadas em função de
:
Note que
e
para todo
.
Passo 3
Eliminamos o parâmetro
. De
segue
. Substituindo em
dá
Logo, o lugar geométrico é a hipérbole
, restrita ao primeiro quadrante
,
.
Passo 4
Analisamos o comportamento nos extremos de
:
- Quando
, e . - Quando
, e .
Emtemos o ponto .
Passo 5
No esboço, desenhamos a curva
no primeiro quadrante, com assíntotas nos eixos. Para indicar a direção de crescimento de
, colocamos setas que partem de pontos altos próximos ao eixo
(quando
é muito negativo) e seguem para a direita e para baixo, aproximando-se do eixo
(quando
é muito positivo).
Resposta
A curva é a hipérbole
no primeiro quadrante. As setas devem apontar de perto de
em direção a
, pois conforme
cresce,
move-se desse ponto alto à esquerda para o ponto baixo à direita.