Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
\mathbf{r}(t)=e^{t} \mathbf{i}+e^{-t} \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva definida pelo vetor
\mathbf{r}(t)=e^{t}\,\mathbf{i}+e^{-t}\,\mathbf{j},
indicando a direção em que t cresce. O conteúdo envolve curvas paramétricas no plano e eliminação de parâmetro para identificar a forma da curva.

Passo 2

Identificamos as coordenadas em função de t:
x(t)=e^{t},\qquad y(t)=e^{-t}.
Note que x(t)>0 e y(t)>0 para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Eliminamos o parâmetro t. De x=e^{t} segue t=\ln x. Substituindo em y=e^{-t}
y = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}.
Logo, o lugar geométrico é a hipérbole y=\tfrac1x, restrita ao primeiro quadrante x>0, y>0.

Passo 4

Analisamos o comportamento nos extremos de t:
  • Quando t\to-\infty, x=e^{t}\to0^+ e y=e^{-t}\to+\infty.
  • Quando t\to+\infty, x=e^{t}\to+\infty e y=e^{-t}\to0^+.
    Em t=0 temos o ponto (1,1).

Passo 5

No esboço, desenhamos a curva y=1/x no primeiro quadrante, com assíntotas nos eixos. Para indicar a direção de crescimento de t, colocamos setas que partem de pontos altos próximos ao eixo y (quando t é muito negativo) e seguem para a direita e para baixo, aproximando-se do eixo x (quando t é muito positivo).

Resposta

A curva é a hipérbole y=1/x no primeiro quadrante. As setas devem apontar de perto de (0^+,+\infty) em direção a (+\infty,0^+), pois conforme t cresce, (x,y)=(e^t,e^{-t}) move-se desse ponto alto à esquerda para o ponto baixo à direita.

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