Determine um vetor unitário ortogonal ao eixo z e que forme 60^circ com o vetor j.

Passo 1

O enunciado pede um vetor unitário em R^3 que seja ortogonal ao eixo z e que forme um ângulo de 60^circ com o vetor j=(0,1,0). Para resolver, vamos usar a condição de ortogonalidade ao eixo z (ou seja, componente z=0), a definição de vetor unitário ( |vec v|=1) e a fórmula do produto escalar para ângulo entre vetores.

Passo 2

Como vec v é ortogonal ao eixo z, sua componente z é zero. Logo podemos escrever
vec v = (a,,b,,0)

Passo 3

Para vec v ser unitário, vale
a^2 + b^2 + 0^2 = 1,
ou seja,
a^2 + b^2 = 1

Passo 4

O ângulo entre vec v e vec j satisfaz
cos 60^circ = vec v cdot vec j|vec v||vec j| = (a,b,0)cdot(0,1,0)1cdot1 = b
Como cos 60^circ = tfrac12, temos
b = tfrac12

Passo 5

Substituindo b = tfrac12 na condição de norma unitária:
a^2 + l(tfrac12r)^2 = 1 Longrightarrow a^2 = 1 - tfrac14 = tfrac34 Longrightarrow a = pm tfracraiz32
Podemos escolher o sinal positivo para obter um vetor; o negativo também funcionaria.

Resposta

Um vetor que satisfaz as condições é
boxedvec v = l(tfracraiz32,,tfrac12,,0r)

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