1. Determine um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores \vec{u}=(1,-1,4) e \vec{v}=(3,2,-2).

Passo 1

O enunciado pede um vetor unitário \vec{w} em \mathbb{R}^3 que seja ortogonal a \vec{u}=(1,-1,4) e \vec{v}=(3,2,-2).
Para resolver precisamos usar o produto vetorial (que gera um vetor perpendicular) e depois dividir pelo seu módulo para normalizar.

Passo 2

Calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}:
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -1 & 4\\\\ 3 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\bigl((-1)(-2)-4\cdot2\bigr) - \mathbf{j}\bigl(1\cdot(-2)-4\cdot3\bigr) + \mathbf{k}\bigl(1\cdot2-(-1)\cdot3\bigr).
Logo,
\vec{u}\times\vec{v}=(-6,\,14,\,5).

Passo 3

Calcular o módulo de \vec{u}\times\vec{v}:
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \sqrt{(-6)^2 + 14^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 196 + 25} = \sqrt{257}.

Passo 4

Normalizar para obter o vetor unitário:
\vec{w} = \frac{\vec{u}\times\vec{v}}{\|\vec{u}\times\vec{v}\|} = \frac{1}{\sqrt{257}}\,(-6,\,14,\,5).
Note que a direção oposta também é válida, isto é \displaystyle \frac{1}{\sqrt{257}}\,(6,\,-14,\,-5).

Resposta

\frac{1}{\sqrt{257}}\,(-6,\,14,\,5) \quad\text{(ou, na direção oposta, }\frac{1}{\sqrt{257}}\,(6,\,-14,\,-5)\text{).}çã

Exercícios relacionados