Dados os vetores \vec{u} e \vec{v} a seguir, calcule a projeção de \vec{v} sobre \vec{u} e \cos (\vec{u}, \vec{v}) (identificando se é um ângulo agudo, obtuso ou se os vetores são ortogonais).
(a) \vec{u}=(4,0,3) e \vec{v}=(2,3,3)
(b) \vec{u}=(1,2,2) e \vec{v}=(2,1,3)
(c) \vec{u}=(\sqrt{ } 6,1,3) e \vec{v}=(1,2,1)
(d) \vec{u}=(0,2,1) e $\vec{v}=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede, para cada par de vetores \vec u e \vec v, 1) a projeção de \vec v sobre \vec u e 2) o valor de \cos(\vec u,\vec v), identificando se o ângulo entre eles é agudo, obtuso ou reto. Vamos usar as fórmulas
\operatorname{proj}_{\vec u}(\vec v) =\frac{\vec u\cdot\vec v}{\vec u\cdot\vec u}\,\vec u, \qquad \cos(\vec u,\vec v) =\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\;\|\vec v\|}.

Passo 2

Explicando as fórmulas:
  1. \vec u\cdot\vec v é o produto escalar.
  2. \|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u} e \|\vec v\|=\sqrt{\vec v\cdot\vec v}.
  3. Se \cos(\vec u,\vec v)>0, o ângulo é agudo; se for 0, é reto; se <0, é obtuso.

Passo 3

Aplicando ao item (a): \vec u=(4,0,3), \vec v=(2,3,3).
\vec u\cdot\vec v =4\cdot2+0\cdot3+3\cdot3=8+0+9=17, \quad \vec u\cdot\vec u=4^2+0^2+3^2=25.
Logo
\operatorname{proj}_{\vec u}(\vec v) =\frac{17}{25}(4,0,3) =\Bigl(\tfrac{68}{25},0,\tfrac{51}{25}\Bigr).
Além disso \|\vec u\|=5, \|\vec v\|=\sqrt{2^2+3^2+3^2}=\sqrt{22},
\cos(\vec u,\vec v) =\frac{17}{5\sqrt{22}}>0,
logo o ângulo é agudo.

Passo 4

Aplicando ao item (b): \vec u=(1,2,2), \vec v=(2,1,3).
\vec u\cdot\vec v=1\cdot2+2\cdot1+2\cdot3=2+2+6=10, \quad \vec u\cdot\vec u=1+4+4=9.
\operatorname{proj}_{\vec u}(\vec v) =\frac{10}{9}(1,2,2) =\Bigl(\tfrac{10}{9},\tfrac{20}{9},\tfrac{20}{9}\Bigr). \|\vec u\|=3, \|\vec v\|=\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\sqrt{14},
\cos(\vec u,\vec v) =\frac{10}{3\sqrt{14}}>0,
ângulo agudo.

Passo 5

Aplicando ao item (c): \vec u=(\sqrt6,1,3), \vec v=(1,2,1).
\vec u\cdot\vec v =\sqrt6\cdot1+1\cdot2+3\cdot1=\sqrt6+5, \quad \vec u\cdot\vec u=6+1+9=16.
\operatorname{proj}_{\vec u}(\vec v) =\frac{\sqrt6+5}{16}(\sqrt6,1,3) =\Bigl(\tfrac{6+5\sqrt6}{16},\tfrac{\sqrt6+5}{16},\tfrac{3(\sqrt6+5)}{16}\Bigr). \|\vec u\|=4, \|\vec v\|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6,
\cos(\vec u,\vec v) =\frac{\sqrt6+5}{4\sqrt6}>0,
ângulo agudo.

Passo 6

Aplicando ao item (d): \vec u=(0,2,1), \vec v=(1,1,1).
\vec u\cdot\vec v=0\cdot1+2\cdot1+1\cdot1=3, \quad \vec u\cdot\vec u=0+4+1=5.
\operatorname{proj}_{\vec u}(\vec v) =\frac{3}{5}(0,2,1) =\Bigl(0,\tfrac{6}{5},\tfrac{3}{5}\Bigr). \|\vec u\|=\sqrt5, \|\vec v\|=\sqrt3,
\cos(\vec u,\vec v) =\frac{3}{\sqrt{15}}>0,
ângulo agudo.

Resposta

(a) \operatorname{proj}_{\vec u}(\vec v)=\bigl(\tfrac{68}{25},0,\tfrac{51}{25}\bigr), \cos(\vec u,\vec v)=\tfrac{17}{5\sqrt{22}} (agudo).
(b) \operatorname{proj}_{\vec u}(\vec v)=\bigl(\tfrac{10}{9},\tfrac{20}{9},\tfrac{20}{9}\bigr), \cos(\vec u,\vec v)=\tfrac{10}{3\sqrt{14}} (agudo).
(c) \operatorname{proj}_{\vec u}(\vec v)=\bigl(\tfrac{6+5\sqrt6}{16},\tfrac{\sqrt6+5}{16},\tfrac{3(\sqrt6+5)}{16}\bigr), \cos(\vec u,\vec v)=\tfrac{\sqrt6+5}{4\sqrt6} (agudo).
(d) \operatorname{proj}_{\vec u}(\vec v)=\bigl(0,\tfrac{6}{5},\tfrac{3}{5}\bigr), \cos(\vec u,\vec v)=\tfrac{3}{\sqrt{15}} (agudo).

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