Determine o vetor velocidade, o vetor aceleração e a velocidade escalar. Determine também a reta tangente à trajetória no ponto
da curva parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e o ponto parâmetro
.
Pede-se: (1) o vetor velocidade (vetor tangente), (2) o vetor aceleração
, (3) a velocidade escalar
(módulo da velocidade) e (4) a reta tangente à trajetória no ponto
.
Informações relevantes dadas: a expressão de e o valor
. A resolução começa a seguir.
Pede-se: (1) o vetor velocidade
Informações relevantes dadas: a expressão de
Passo 2
Definição e cálculo do vetor velocidade: o vetor velocidade de uma curva parametrizada é a derivada componente a componente de
:
Regra útil (cadeia):
e
, onde
é constante. Aplicando:
Portanto, o vetor velocidade geral é
Passo 3
Definição e cálculo do vetor aceleração: o vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade, isto é
. Derivamos cada componente de
:
Logo
Passo 4
Definição e cálculo da velocidade escalar: a velocidade escalar é o módulo (norma euclidiana) do vetor velocidade:
Para simplificar, podemos usar a identidade
, então
. Substituindo:
Como a norma é não negativa, extraímos o valor absoluto:
Essa é a expressão simplificada da velocidade escalar geral.
Passo 5
Avaliações em
: primeiro a posição
:
Agora a velocidade em
:
A aceleração em
:
A velocidade escalar em
(usar
ou a fórmula):
Passo 6
Equação da reta tangente no ponto
: a reta tangente na parametrização é dada por
onde
é parâmetro real. Substituindo valores:
Em forma cartesiana isso é a reta vertical
(porque a componente
é constante igual a
).
Resposta
Reta tangente em