Determine o vetor velocidade, o vetor aceleração e a velocidade escalar. Determine também a reta tangente à trajetória no ponto \sigma\left(t_{1}\right) da curva parametrizada por
\sigma(t)=(\cos 2 t,-3 \operatorname{sen} t), \quad t_{1}=\pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \sigma(t)=(\cos 2t,\,-3\operatorname{sen}t) e o ponto parâmetro t_{1}=\pi.
Pede-se: (1) o vetor velocidade \sigma'(t) (vetor tangente), (2) o vetor aceleração \sigma''(t), (3) a velocidade escalar \|\sigma'(t)\| (módulo da velocidade) e (4) a reta tangente à trajetória no ponto \sigma(t_{1}).
Informações relevantes dadas: a expressão de \sigma(t) e o valor t_{1}=\pi. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Definição e cálculo do vetor velocidade: o vetor velocidade de uma curva parametrizada é a derivada componente a componente de \sigma(t):
\sigma'(t)=\left(\frac{d}{dt}(\cos 2t),\;\frac{d}{dt}(-3\operatorname{sen}t)\right).
Regra útil (cadeia): \frac{d}{dt}\cos(kt)=-k\sin(kt) e \frac{d}{dt}\sin(kt)=k\cos(kt), onde k é constante. Aplicando:
\frac{d}{dt}(\cos 2t)=-2\sin 2t,
\frac{d}{dt}(-3\operatorname{sen}t)=-3\cos t.
Portanto, o vetor velocidade geral é
\sigma'(t)=\left(-2\sin 2t,\,-3\cos t\right).

Passo 3

Definição e cálculo do vetor aceleração: o vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade, isto é \sigma''(t)=(\sigma'_1{}'(t),\sigma'_2{}'(t)). Derivamos cada componente de \sigma'(t):
\frac{d}{dt}(-2\sin 2t)=-2\cdot 2\cos 2t=-4\cos 2t,
\frac{d}{dt}(-3\cos t)=-3(-\sin t)=3\sin t.
Logo
\sigma''(t)=\left(-4\cos 2t,\;3\sin t\right).

Passo 4

Definição e cálculo da velocidade escalar: a velocidade escalar é o módulo (norma euclidiana) do vetor velocidade:
\|\sigma'(t)\|=\sqrt{(-2\sin 2t)^{2}+(-3\cos t)^{2}}=\sqrt{4\sin^{2}2t+9\cos^{2}t}.
Para simplificar, podemos usar a identidade \sin 2t=2\sin t\cos t, então \sin^{2}2t=4\sin^{2}t\cos^{2}t. Substituindo:
\|\sigma'(t)\|=\sqrt{4\cdot 4\sin^{2}t\cos^{2}t+9\cos^{2}t}=\sqrt{\cos^{2}t\,(16\sin^{2}t+9)}.
Como a norma é não negativa, extraímos o valor absoluto:
\|\sigma'(t)\|=|\cos t|\sqrt{16\sin^{2}t+9}.
Essa é a expressão simplificada da velocidade escalar geral.

Passo 5

Avaliações em t_{1}=\pi: primeiro a posição \sigma(\pi):
\sigma(\pi)=\big(\cos 2\pi,\,-3\operatorname{sen}\pi\big)=(1,\,0).
Agora a velocidade em \pi:
\sigma'(\pi)=\left(-2\sin 2\pi,\,-3\cos\pi\right)=\left(0,\,-3(-1)\right)=(0,\,3).
A aceleração em \pi:
\sigma''(\pi)=\left(-4\cos 2\pi,\;3\sin\pi\right)=(-4\cdot 1,\;0)=(-4,\,0).
A velocidade escalar em \pi (usar \|\sigma'(\pi)\| ou a fórmula):
\|\sigma'(\pi)\|=\sqrt{0^{2}+3^{2}}=3.

Passo 6

Equação da reta tangente no ponto \sigma(\pi)=(1,0): a reta tangente na parametrização é dada por
\ell(s)=\sigma(\pi)+s\,\sigma'(\pi),
onde s é parâmetro real. Substituindo valores:
\ell(s)=(1,0)+s(0,3)=(1,\;3s).
Em forma cartesiana isso é a reta vertical x=1 (porque a componente x é constante igual a 1).

Resposta

\sigma'(t)=\left(-2\sin 2t,\,-3\cos t\right)
\sigma''(t)=\left(-4\cos 2t,\;3\sin t\right)
\|\sigma'(t)\|=\sqrt{4\sin^{2}2t+9\cos^{2}t}=|\cos t|\sqrt{16\sin^{2}t+9} e \|\sigma'(\pi)\|=3
Reta tangente em \sigma(\pi)=(1,0): \ell(s)=(1,\,3s), equivalente a x=1

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