Determine o vetor velocidade, o vetor aceleração e a velocidade escalar. Determine também a reta tangente à trajetória no ponto sigma(t1) da curva parametrizada por
sigma(t)=(1, t-1, t^2+1), t1=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor velocidade v(t), o vetor aceleração a(t), a velocidade escalar |v(t)| e a reta tangente à curva sigma(t)=(1,,t-1,,t^2+1) no ponto t1=2. Vamos usar derivadas de funções vetoriais para obter v(t) e a(t), depois norma de v(t) para a velocidade escalar, e finalmente montar a equação paramétrica da reta tangente.

Passo 2

Derivando componente a componente de sigma(t), obtemos o vetor velocidade:
v(t)=sigma'(t)=(0,,1,,2t)

Passo 3

Para obter o vetor aceleração, derivamos v(t):
a(t)=v'(t)=(0,,0,,2)

Passo 4

A velocidade escalar é a norma de v(t). Calculando a norma:
$$ |v(t)|=\sqrt{02+12+(2t)2}=\sqrt{1+4t2}.
$$
Em |v(t)|=raiz0^2+1^2+(2t)^2=raiz1+4t^2 temos t1=2

Passo 5

Para a reta tangente, precisamos do ponto P=sigma(2) e da direção v(2).
P=sigma(2)=(1,,1,,5), v(2)=(0,,1,,4)
A equação paramétrica da reta tangente é
r(s)=P+s,v(2)=(1,,1,,5)+s,(0,,1,,4)

Resposta

v(t)=(0,1,2t),
a(t)=(0,0,2),
velocidade escalar |v(t)|=\sqrt{1+4t^2} (em t=2: \sqrt{17}),
reta tangente r(s)=(1,1,5)+s(0,1,4).

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