Determine o vetor velocidade, o vetor aceleração e a velocidade escalar. Determine também a reta tangente à trajetória no ponto sigma(t1) da curva parametrizada por
sigma(t)=(2+cos 6 t, 2+sen 6 t), t1=pi9.

Passo 1

O enunciado pede para achar o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade escalar e a reta tangente para a curva parametrizada por sigma(t)=(2+cos6t,,2+sin6t) no ponto t1=tfracpi9. Vamos usar derivadas de funções vetoriais, norma de vetor e a definição de reta tangente.

Passo 2

Para encontrar o vetor velocidade v(t)=sigma'(t), derivamos cada componente de sigma(t): a derivada de cos6t é -6sin6t e a de sin6t é 6cos6t. Logo, v(t)=(-6sin6t,,6cos6t)

Passo 3

O vetor aceleração a(t)=v'(t)=sigma''(t) vem de derivar cada componente de v(t): a derivada de -6sin6t é -36cos6t e a de 6cos6t é -36sin6t. Assim, a(t)=(-36cos6t,,-36sin6t)

Passo 4

A velocidade escalar (rapidez) é a norma de v(t):
|v(t)|=raiz(-6sin6t)^2+(6cos6t)^2=6raizsin^2 6t+cos^2 6t=6

Passo 5

Para a reta tangente precisamos do ponto sigma(t1) e da direção v(t1). Calculamos sin6t1=sintfrac2pi3=tfracraiz32 e cos6t1=costfrac2pi3=-tfrac12. Logo,
sigma(t1)=l(2-tfrac12,,2+tfracraiz32r)=l(tfrac32,,tfrac4+raiz32r)
e
v(t1)=l(-6tfracraiz32,,6(-tfrac12)r)=(-3raiz3,,-3)

Passo 6

A reta tangente em sigma(t1) com direção v(t1) em forma ponto-direção é
L(s)=sigma(t1)+s,v(t1)
ou, em forma explícita (com inclinação m=tfracv2v1=tfrac-3-3raiz3=tfrac1raiz3),
y-4+raiz32=1raiz3l(x-32r)

Resposta

v(t)=(-6sin6t,,6cos6t), a(t)=(-36cos6t,,-36sin6t), |v(t)|=6
A reta tangente em t1=tfracpi9 é
y-4+raiz32=1raiz3l(x-32r)

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