Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois.
Passo 1
O enunciado dá os dois vetores abaixo e pede que eu diga se eles são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois:
Informações relevantes dadas:
- Componentes de
: , . - Componentes de
: , .
O objetivo é decidir entre as três possibilidades: ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o critério de ortogonalidade (com uma palavrinha didática): dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar (dot product) entre eles for zero. Para vetores em
a definição é
onde
são as componentes de
e
as de
. Exemplo simples:
, logo esses vetores são ortogonais (perpendiculares).
Passo 3
Calculo o produto escalar
passo a passo usando as componentes dadas:
Agora as operações:
logo
Como o produto escalar é
, conclui-se que
e
são ortogonais.
Passo 4
Só para ter tudo certinho na prova: vamos também checar o critério de paralelismo (mesmo sabendo que vetores não-nulos não podem ser simultaneamente ortogonais e paralelos). Dois vetores em
são paralelos se existe um escalar
tal que
. Isso implica
desde que
e
não sejam zero simultaneamente. Aqui:
Como
, não existe um mesmo
que satisfaça as duas igualdades; portanto
e
não são paralelos.
Passo 5
Verificação rápida de que nenhum dos vetores é o vetor nulo (caso especial que permite coincidências estranhas): as normas são
Portanto ambos são não nulos; assim ser ortogonal exclui ser paralelo.
Resposta
Ortogonais