Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois.
\mathbf{a}=\langle 4,6\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle-3,2\rangle

Passo 1

O enunciado dá os dois vetores abaixo e pede que eu diga se eles são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois:
  • \mathbf{a}=\langle 4,6\rangle
  • \mathbf{b}=\langle -3,2\rangle
Informações relevantes dadas:
  • Componentes de \mathbf{a}: a_1=4, a_2=6.
  • Componentes de \mathbf{b}: b_1=-3, b_2=2.
O objetivo é decidir entre as três possibilidades: ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o critério de ortogonalidade (com uma palavrinha didática): dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar (dot product) entre eles for zero. Para vetores em \mathbb{R}^2 a definição é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2,
onde u_1,u_2 são as componentes de \mathbf{u} e v_1,v_2 as de \mathbf{v}. Exemplo simples: \langle1,0\rangle\cdot\langle0,1\rangle=1\cdot0+0\cdot1=0, logo esses vetores são ortogonais (perpendiculares).

Passo 3

Calculo o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} passo a passo usando as componentes dadas:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=4\cdot(-3)+6\cdot2.
Agora as operações:
4\cdot(-3)=-12,\qquad 6\cdot2=12,
logo
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-12+12=0.
Como o produto escalar é 0, conclui-se que \mathbf{a} e \mathbf{b} são ortogonais.

Passo 4

Só para ter tudo certinho na prova: vamos também checar o critério de paralelismo (mesmo sabendo que vetores não-nulos não podem ser simultaneamente ortogonais e paralelos). Dois vetores em \mathbb{R}^2 são paralelos se existe um escalar k tal que \mathbf{b}=k\mathbf{a}. Isso implica
k=\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2},
desde que a_1 e a_2 não sejam zero simultaneamente. Aqui:
\frac{b_1}{a_1}=\frac{-3}{4},\qquad \frac{b_2}{a_2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Como \dfrac{-3}{4}\ne\dfrac{1}{3}, não existe um mesmo k que satisfaça as duas igualdades; portanto \mathbf{a} e \mathbf{b} não são paralelos.

Passo 5

Verificação rápida de que nenhum dos vetores é o vetor nulo (caso especial que permite coincidências estranhas): as normas são
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}>0,
\|\mathbf{b}\|=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}>0.
Portanto ambos são não nulos; assim ser ortogonal exclui ser paralelo.

Resposta

Ortogonais

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