O potencial eletroquímico em uma membrana seletiva é modelado por:
\varphi(x, y)=\frac{x^{3} y}{x^{6}+y^{2}} \quad \text { para }(x, y) \neq(0,0)
Onde x e y representam desvios normalizados de concentração e temperatura.
a) Calcule o limite ao longo da curva y=m x^{2}
b) Calcule o limite ao longo da curva y=m x^{3}
c) O limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \varphi(x, y) existe? Justifique!
d) Se você fosse modelar o potencial na origem, seria possível definir um valor que torne a função contínua neste ponto?

Passo 1

O enunciado fornece a função
\varphi(x,y)=\frac{x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0)
e pede quatro coisas:
  • (a) calcular o limite de \varphi(x,y) quando (x,y)\to(0,0) ao longo da curva y=m x^{2};
  • (b) calcular o limite de \varphi(x,y) quando (x,y)\to(0,0) ao longo da curva y=m x^{3};
  • (c) decidir se o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}\varphi(x,y) existe, com justificativa;
  • (d) dizer se é possível atribuir um valor em (0,0) que torne \varphi contínua ali.
As informações relevantes: a função está explicitamente dada para todos os pontos exceto a origem; m é um parâmetro real (constante) que define as curvas y=m x^{2} e y=m x^{3}. A estratégia natural é substituir essas curvas na expressão e calcular o limite quando x\to0.

Passo 2

Breve lembrança sobre limites em duas variáveis (fórmula e ideia útil para a prova).
  • Definição prática: o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}\varphi(x,y)=L existe se, ao nos aproximarmos de (0,0) por qualquer caminho (reta, parábola, etc.), os valores de \varphi(x,y) sempre tendem ao mesmo número L.
  • Teste de caminho: se existirem dois caminhos que levam a limites diferentes, então o limite total não existe. Por isso é comum testar curvas do tipo y=kx^{\alpha} para ver se o limite depende do caminho.
Agora vamos aplicar isso de forma direta nas curvas pedidas.

Passo 3

Cálculo do limite ao longo de y=m x^{2}.
Substituir y=m x^{2} em \varphi:
\varphi(x,mx^{2})=\frac{x^{3}\,(m x^{2})}{x^{6}+(m x^{2})^{2}}.
Desenvolvendo o denominador e simplificando fatores de x:
\varphi(x,mx^{2})=\frac{m x^{5}}{x^{6}+m^{2}x^{4}}=\frac{m x^{5}}{x^{4}(x^{2}+m^{2})}.
Cancelando x^{4} (válido para x\neq0):
\varphi(x,mx^{2})=\frac{m x}{x^{2}+m^{2}}.
Agora tomar o limite quando x\to0. O numerador \,m x\to0 e o denominador \,x^{2}+m^{2}\to m^{2}. Portanto
\lim_{x\to0}\varphi(x,mx^{2})=\frac{0}{m^{2}}=0.
Conclusão do item (a): para toda constante real m,
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=mx^{2}}\varphi(x,y)=0.

Passo 4

Observação didática curta sobre o resultado do passo anterior.
  • Intuitivamente: ao aproximar pela parábola y\sim x^{2} a potência de x no numerador é mais alta que no denominador depois das simplificações de modo que tudo decai para zero.
  • Nota para a prova: sempre simplifique fator comum (aqui x^{4}) antes de avaliar o limite; isso evita indeterminações e torna claro o comportamento em x\to0.

Passo 5

Cálculo do limite ao longo de y=m x^{3}.
Substituir y=m x^{3} em \varphi:
\varphi(x,mx^{3})=\frac{x^{3}\,(m x^{3})}{x^{6}+(m x^{3})^{2}}.
Desenvolvendo:
\varphi(x,mx^{3})=\frac{m x^{6}}{x^{6}+m^{2}x^{6}}=\frac{m x^{6}}{x^{6}(1+m^{2})}.
Cancelando x^{6} (para x\neq0):
\varphi(x,mx^{3})=\frac{m}{1+m^{2}}.
Este valor é independente de x, logo o limite quando x\to0 é simplesmente
\lim_{x\to0}\varphi(x,mx^{3})=\frac{m}{1+m^{2}}.
Conclusão do item (b): ao longo de y=mx^{3},
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=mx^{3}}\varphi(x,y)=\frac{m}{1+m^{2}}.

Passo 6

Comparação dos limites das duas famílias de curvas e conclusão sobre a existência do limite geral.
  • Pela parte (a) obtivemos sempre 0 para qualquer m nas curvas y=mx^{2}.
  • Pela parte (b) obtivemos \dfrac{m}{1+m^{2}} para as curvas y=mx^{3}, que depende de m.
Escolhendo, por exemplo, m=1 na família y=mx^{3} dá o limite 1/(1+1)=1/2, que é diferente de 0 (o limite obtido ao aproximar por y=mx^{2} ou pela própria reta y=0). Como encontramos dois caminhos com limites distintos, isto é uma prova direta de que o limite total não existe.
Formalmente: existe caminho A com limite 0 e caminho B com limite 1/2, logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\varphi(x,y)\\ \text{não existe.}ã

Passo 7

Resposta à pergunta (d) sobre definir um valor em (0,0) para tornar \varphi contínua.
Continuidade em (0,0) exigiria que o valor atribuído L fosse igual ao limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}\varphi(x,y). Como esse limite não existe (passo 6), não há nenhum número L que seja o limite por todos os caminhos. Portanto não é possível definir um valor em (0,0) que torne \varphi contínua naquele ponto.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (motivação e resumo amigável):
  • Para funções racionais em x,y é muito eficiente testar curvas do tipo y=kx^{\alpha} com diferentes \alpha para descobrir dependência de caminho.
  • Sempre simplifique fatores em potências de x (fator comum) antes de analisar x\to0.
  • Se dois caminhos darem limites diferentes, pare: já provou que o limite não existe — não precisa testar mais.
Força aí — você já matou o problema principal: caminhos com ordens diferentes em x (parábola vs cúbica) revelaram a dependência do limite.

Resposta

(a) \;0
(b) \;\dfrac{m}{1+m^{2}}
(c) \;Não existe (os limites por caminhos diferentes são distintos)
(d) \;Não — não é possível atribuir um valor em (0,0) que torne \varphi contínua.

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