O potencial eletroquímico em uma membrana seletiva é modelado por:
Onde
e
representam desvios normalizados de concentração e temperatura.
a) Calcule o limite ao longo da curva
b) Calcule o limite ao longo da curva
c) O limite
existe? Justifique!
d) Se você fosse modelar o potencial na origem, seria possível definir um valor que torne a função contínua neste ponto?
a) Calcule o limite ao longo da curva
b) Calcule o limite ao longo da curva
c) O limite
d) Se você fosse modelar o potencial na origem, seria possível definir um valor que torne a função contínua neste ponto?
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede quatro coisas:
- (a) calcular o limite de
quando ao longo da curva ; - (b) calcular o limite de
quando ao longo da curva ; - (c) decidir se o limite
existe, com justificativa; - (d) dizer se é possível atribuir um valor em
que torne contínua ali.
As informações relevantes: a função está explicitamente dada para todos os pontos exceto a origem;
é um parâmetro real (constante) que define as curvas
e
. A estratégia natural é substituir essas curvas na expressão e calcular o limite quando
.
Passo 2
Breve lembrança sobre limites em duas variáveis (fórmula e ideia útil para a prova).
- Definição prática: o limite
existe se, ao nos aproximarmos de por qualquer caminho (reta, parábola, etc.), os valores de sempre tendem ao mesmo número . - Teste de caminho: se existirem dois caminhos que levam a limites diferentes, então o limite total não existe. Por isso é comum testar curvas do tipo
para ver se o limite depende do caminho.
Agora vamos aplicar isso de forma direta nas curvas pedidas.
Passo 3
Cálculo do limite ao longo de
.
Substituir
em
:
Desenvolvendo o denominador e simplificando fatores de
:
Cancelando
(válido para
):
Agora tomar o limite quando
. O numerador
e o denominador
. Portanto
Conclusão do item (a): para toda constante real
,
Passo 4
Observação didática curta sobre o resultado do passo anterior.
- Intuitivamente: ao aproximar pela parábola
a potência de no numerador é mais alta que no denominador depois das simplificações de modo que tudo decai para zero. - Nota para a prova: sempre simplifique fator comum (aqui
) antes de avaliar o limite; isso evita indeterminações e torna claro o comportamento em .
Passo 5
Cálculo do limite ao longo de
.
Substituir
em
:
Desenvolvendo:
Cancelando
(para
):
Este valor é independente de
, logo o limite quando
é simplesmente
Conclusão do item (b): ao longo de
,
Passo 6
Comparação dos limites das duas famílias de curvas e conclusão sobre a existência do limite geral.
- Pela parte (a) obtivemos sempre
para qualquer nas curvas . - Pela parte (b) obtivemos
para as curvas , que depende de .
Escolhendo, por exemplo,
na família
dá o limite
, que é diferente de
(o limite obtido ao aproximar por
ou pela própria reta
). Como encontramos dois caminhos com limites distintos, isto é uma prova direta de que o limite total não existe.
Formalmente: existe caminho A com limite
e caminho B com limite
, logo
Passo 7
Resposta à pergunta (d) sobre definir um valor em
para tornar
contínua.
Continuidade em
exigiria que o valor atribuído
fosse igual ao limite
. Como esse limite não existe (passo 6), não há nenhum número
que seja o limite por todos os caminhos. Portanto não é possível definir um valor em
que torne
contínua naquele ponto.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (motivação e resumo amigável):
- Para funções racionais em
é muito eficiente testar curvas do tipo com diferentes para descobrir dependência de caminho. - Sempre simplifique fatores em potências de
(fator comum) antes de analisar . - Se dois caminhos darem limites diferentes, pare: já provou que o limite não existe — não precisa testar mais.
Força aí — você já matou o problema principal: caminhos com ordens diferentes em
(parábola vs cúbica) revelaram a dependência do limite.
Resposta
(a)
(b)
(c) Não existe (os limites por caminhos diferentes são distintos)
(d) Não — não é possível atribuir um valor em
que torne
contínua.
(b)
(c)
(d)