A concentração de um reagente em um reator é modelada por:
C(x, y)=\frac{100}{x^{2}+y^{2}+1}
Onde x e y são coordenadas em metros.
a) Determine o domínio de C e calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} C(x, y)
b) A função é contínua em todo seu domínio? Justifique!
c) Interprete fisicamente o valor do limite encontrado.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
C(x,y)=\frac{100}{x^{2}+y^{2}+1},
onde (x,y) são coordenadas em metros. As perguntas são:
(a) determinar o domínio de C e calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)} C(x,y);
(b) verificar se a função é contínua em todo o domínio e justificar;
(c) interpretar fisicamente o valor do limite encontrado.
Informações importantes fornecidas:
A expressão de C está definida por quociente em termos de x^{2}+y^{2}+1.
Não há outras restrições explícitas além da fórmula (portanto qualquer restrição do tipo “denominador = 0” deve ser verificada).
Passo 2
Definição e ideia para o domínio: o domínio de uma função dada por uma expressão algébrica é o conjunto de pontos (x,y) para os quais a expressão faz sentido numericamente. Aqui a única possível causa de problema seria o denominador x^{2}+y^{2}+1 ser igual a zero (pois divisão por zero não é permitida). Vamos checar isso.
Análise do denominador:
x^{2}\ge 0,\qquad y^{2}\ge 0\quad\text{para todo }(x,y).
Estratégia para o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} C(x,y).
Intuição: como o denominador é uma soma de termos contínuos e não se anula, a função parece “bem comportada” perto de (0,0); normalmente podemos obter o limite apenas substituindo. Mas vou provar rigorosamente usando uma estimativa que mostra como C(x,y) se aproxima de 100 quando (x,y) se aproxima de (0,0).
Passo 5
Prova rigorosa (tipo epsilon-delta) de que \lim_{(x,y)\to(0,0)} C(x,y)=100.
Resumo do resultado do limite: a aproximação por substituição estava correta e foi validada rigorosamente. Portanto o limite pedido é 100.
Passo 7
Continuidade da função em todo o domínio.
Definição curta: uma função f é contínua em um ponto p se \lim_{x\to p} f(x)=f(p).
Verificação no caso:
Mostramos que \lim_{(x,y)\to(0,0)} C(x,y)=100=C(0,0), logo C é contínua em (0,0).
Mais geralmente, para qualquer ponto (a,b)\in\mathbb{R}^{2} o denominador a^{2}+b^{2}+1 é estritamente positivo, então a expressão \frac{100}{x^{2}+y^{2}+1} é bem definida num entorno de (a,b). Polinômios em x,y (como x^{2}+y^{2}+1) são funções contínuas, a função recíproca t\mapsto 1/t é contínua para t\neq 0, e o produto por 100 preserva continuidade. Pela composição de funções contínuas concluímos que C é contínua em qualquer ponto do domínio.
Como o domínio é \mathbb{R}^{2}, a função é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
Passo 8
Interpretação física do limite (linguagem simples e direta).
Reescrevendo em termos da distância ao centro: se denotar r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (distância ao ponto origem em metros), então
C(x,y)=\frac{100}{r^{2}+1}.
Isto mostra que:
A concentração é radialmente simétrica (depende só da distância r ao centro).
O maior valor de concentração ocorre no centro (r=0), onde C=100.
O limite que calculamos, 100, diz que ao aproximar-se do ponto central (0,0) a concentração tende a 100 (unidades de concentração dadas pelo modelo). Em termos práticos: se medirmos a concentração cada vez mais perto da origem, os valores observados vão se aproximando de 100; não há singularidade nem explosão — o modelo prevê um pico finito no centro.
Como comentário adicional útil: quando r\to\infty, \;C\to 0, ou seja, longe do centro a concentração tende a zero — o que faz sentido físico para um centro de fonte de reagente.
Resposta
a) Domínio: \mathbb{R}^{2}. \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}C(x,y)=100.
b) Sim. C é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (denominador nunca é zero; quociente de funções polinomiais contínuas com denominador não nulo é contínuo).
c) O valor do limite 100 significa que, ao aproximar-se do ponto central (0,0), a concentração do reagente tende a 100 (unidades do modelo); o centro é o ponto de maior concentração e não há singularidade.