A concentração de um reagente em um reator é modelada por:
C(x, y)=\frac{100}{x^{2}+y^{2}+1}
Onde x e y são coordenadas em metros.
a) Determine o domínio de C e calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} C(x, y)
b) A função é contínua em todo seu domínio? Justifique!
c) Interprete fisicamente o valor do limite encontrado.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
C(x,y)=\frac{100}{x^{2}+y^{2}+1},
onde (x,y) são coordenadas em metros. As perguntas são:
  • (a) determinar o domínio de C e calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)} C(x,y);
  • (b) verificar se a função é contínua em todo o domínio e justificar;
  • (c) interpretar fisicamente o valor do limite encontrado.
Informações importantes fornecidas:
  • A expressão de C está definida por quociente em termos de x^{2}+y^{2}+1.
  • Não há outras restrições explícitas além da fórmula (portanto qualquer restrição do tipo “denominador = 0” deve ser verificada).

Passo 2

Definição e ideia para o domínio: o domínio de uma função dada por uma expressão algébrica é o conjunto de pontos (x,y) para os quais a expressão faz sentido numericamente. Aqui a única possível causa de problema seria o denominador x^{2}+y^{2}+1 ser igual a zero (pois divisão por zero não é permitida). Vamos checar isso.
Análise do denominador:
x^{2}\ge 0,\qquad y^{2}\ge 0\quad\text{para todo }(x,y).
Logo
x^{2}+y^{2}\ge 0\quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}+1\ge 1>0.
Assim o denominador nunca é zero e é sempre positivo para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
Conclusão do domínio:
\text{Domínio}\text{(C)}=\mathbb{R}^{2}.í

Passo 3

Cálculo do valor de C no ponto (0,0) por substituição direta (já que o denominador é diferente de zero nesse ponto):
C(0,0)=\frac{100}{0^{2}+0^{2}+1}=\frac{100}{1}=100.

Passo 4

Estratégia para o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} C(x,y).
Intuição: como o denominador é uma soma de termos contínuos e não se anula, a função parece “bem comportada” perto de (0,0); normalmente podemos obter o limite apenas substituindo. Mas vou provar rigorosamente usando uma estimativa que mostra como C(x,y) se aproxima de 100 quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 5

Prova rigorosa (tipo epsilon-delta) de que \lim_{(x,y)\to(0,0)} C(x,y)=100.
Calcule a diferença entre C(x,y) e 100:
\left|C(x,y)-100\right| = \left|\frac{100}{x^{2}+y^{2}+1}-100\right|.
Colocando em comum denominador:
\left|C(x,y)-100\right| = 100\left|\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}-1\right| = 100\left|\frac{1-(x^{2}+y^{2}+1)}{x^{2}+y^{2}+1}\right| = 100\left|\frac{- (x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}+1}\right|.
Como x^{2}+y^{2}+1\ge 1, obtemos
\left|C(x,y)-100\right| =100\cdot\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1} \le 100\cdot (x^{2}+y^{2}).
Agora, para qualquer \varepsilon>0 escolhemos
\delta=\min\left(1,\sqrt{\frac{\varepsilon}{100}}\right).
Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então x^{2}+y^{2}<\varepsilon/100 (pois \delta\le\sqrt{\varepsilon/100}), e assim
\left|C(x,y)-100\right|\le 100(x^{2}+y^{2})<100\cdot\frac{\varepsilon}{100}=\varepsilon.
Isso prova, pelo critério epsilon-delta, que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} C(x,y)=100.

Passo 6

Resumo do resultado do limite: a aproximação por substituição estava correta e foi validada rigorosamente. Portanto o limite pedido é 100.

Passo 7

Continuidade da função em todo o domínio.
Definição curta: uma função f é contínua em um ponto p se \lim_{x\to p} f(x)=f(p).
Verificação no caso:
  • Mostramos que \lim_{(x,y)\to(0,0)} C(x,y)=100=C(0,0), logo C é contínua em (0,0).
  • Mais geralmente, para qualquer ponto (a,b)\in\mathbb{R}^{2} o denominador a^{2}+b^{2}+1 é estritamente positivo, então a expressão \frac{100}{x^{2}+y^{2}+1} é bem definida num entorno de (a,b). Polinômios em x,y (como x^{2}+y^{2}+1) são funções contínuas, a função recíproca t\mapsto 1/t é contínua para t\neq 0, e o produto por 100 preserva continuidade. Pela composição de funções contínuas concluímos que C é contínua em qualquer ponto do domínio.
  • Como o domínio é \mathbb{R}^{2}, a função é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 8

Interpretação física do limite (linguagem simples e direta).
Reescrevendo em termos da distância ao centro: se denotar r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (distância ao ponto origem em metros), então
C(x,y)=\frac{100}{r^{2}+1}.
Isto mostra que:
  • A concentração é radialmente simétrica (depende só da distância r ao centro).
  • O maior valor de concentração ocorre no centro ( r=0), onde C=100.
  • O limite que calculamos, 100, diz que ao aproximar-se do ponto central (0,0) a concentração tende a 100 (unidades de concentração dadas pelo modelo). Em termos práticos: se medirmos a concentração cada vez mais perto da origem, os valores observados vão se aproximando de 100; não há singularidade nem explosão — o modelo prevê um pico finito no centro.
  • Como comentário adicional útil: quando r\to\infty, \;C\to 0, ou seja, longe do centro a concentração tende a zero — o que faz sentido físico para um centro de fonte de reagente.

Resposta

a) Domínio: \mathbb{R}^{2}. \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}C(x,y)=100.
b) Sim. C é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (denominador nunca é zero; quociente de funções polinomiais contínuas com denominador não nulo é contínuo).
c) O valor do limite 100 significa que, ao aproximar-se do ponto central (0,0), a concentração do reagente tende a 100 (unidades do modelo); o centro é o ponto de maior concentração e não há singularidade.

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