Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois.
a=(2,-1,4), \quad b=\left(1,-\frac{1}{2}, 2\right)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
a=(2,-1,4),\qquad b=\left(1,-\tfrac{1}{2},2\right).
A pergunta é: decidir se esses vetores são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois. Vou listar claramente o que preciso verificar:
  • Verificar ortogonalidade: testar se o produto escalar \,a\cdot b\, é nulo.
  • Verificar paralelismo: testar se existe um escalar k tal que b=k\,a (ou equivalentemente a=\ell\,b).

Passo 2

Definição e método para ortogonalidade (passo-a-passo didático).
  • Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero.
  • O produto escalar de a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) é dado por
a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Aqui, a_1,a_2,a_3 são as componentes de a e b_1,b_2,b_3 as de b. Vou calcular esse produto escalar usando as componentes fornecidas.

Passo 3

Cálculo do produto escalar.
Substituindo as componentes:
a\cdot b = 2\cdot 1 + (-1)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) + 4\cdot 2.
Calcule termo a termo:
2\cdot 1 = 2, \qquad (-1)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}, \qquad 4\cdot 2 = 8.
Somando:
a\cdot b = 2 + \tfrac{1}{2} + 8 = 10 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{21}{2}.
Como \tfrac{21}{2}\neq 0, concluímos que os vetores NÃO são ortogonais.

Passo 4

Definição e método para paralelismo (passo-a-passo didático).
  • Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro: existe k\in\mathbb{R} tal que b=k\,a.
  • Para testar isso na prática, calcula-se k pelas componentes correspondentes quando possível e verifica-se se a mesma k funciona para todas as componentes.
Vou calcular k usando a primeira componente:
k = \frac{b_1}{a_1} = \frac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Verificação da consistência de k nas outras componentes.
  • Segunda componente: calcule k\cdot a_2 = \tfrac{1}{2}\cdot(-1) = -\tfrac{1}{2}. Isso coincide com b_2 = -\tfrac{1}{2}.
  • Terceira componente: calcule k\cdot a_3 = \tfrac{1}{2}\cdot 4 = 2. Isso coincide com b_3 = 2.
Como a mesma constante k=\tfrac{1}{2} funciona para todas as componentes, temos b=\tfrac{1}{2}\,a. Portanto os vetores são paralelos.

Resposta

Paralelos.

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