Determine a \cdot b.
|a|=6,|b|=\sqrt{5}, e o ângulo entre a e b é \frac{\pi}{3}

Passo 1

O enunciado dá claramente os seguintes dados e pede uma coisa:
  • Dados:
    • |a| = 6
    • |b| = \sqrt{5}
    • o ângulo entre a e b é \dfrac{\pi}{3}
  • Pedido:
    • Determinar a\cdot b.

Passo 2

Apresentar a fórmula que liga produto escalar, módulos e ângulo. A definição geométrica do produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores a e b diz que
a\cdot b = |a|\,|b|\,\cos(\theta),
onde:
  • a\cdot b é o produto escalar (um número real),
  • |a| é o comprimento (módulo) do vetor a,
  • |b| é o comprimento (módulo) do vetor b,
  • \theta é o ângulo entre a e b,
  • \cos(\theta) é o cosseno desse ângulo.
Explicando em palavras: o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro; geometricamente é o produto dos comprimentos multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles.

Passo 3

Substituir os valores do enunciado na fórmula. Aqui |a|=6, |b|=\sqrt{5} e \theta=\dfrac{\pi}{3}, então
a\cdot b = 6\cdot\sqrt{5}\cdot\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right).

Passo 4

Calcular \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right). Sabendo a tabela básica dos cossenos para ângulos notáveis:
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Fazer a multiplicação numérica:
a\cdot b = 6\cdot\sqrt{5}\cdot\dfrac{1}{2}.
Simplificando 6\cdot\dfrac{1}{2}=3, obtemos
a\cdot b = 3\sqrt{5}.

Passo 6

Comentário didático rápido (para usar na prova): sempre que pedirem a\cdot b e derem os módulos e o ângulo, use diretamente a\cdot b=|a||b|\cos\theta. Se derem componentes, use a soma dos produtos das componentes; ambos os métodos dão o mesmo resultado.

Resposta

3\sqrt{5}

Exercícios relacionados