Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois.
a=-i+2 j+5 k, \quad b=3 i+4 j-k

Passo 1

O enunciado pede para determinar se os dois vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois.
As informações fornecidas são os dois vetores:
\mathbf{a} = -\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k} e \mathbf{b} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - \mathbf{k}.

Passo 2

Entender o que significa cada condição (aqui vai a “aulinha” rápida e prática):
  • Dois vetores são ortogonais (perpendiculares) se e somente se o produto escalar deles for zero. A fórmula do produto escalar para vetores em coordenadas é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z,
onde a_x,a_y,a_z e b_x,b_y,b_z são as componentes de \mathbf{a} e \mathbf{b}.
Também vale a forma geométrica
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta,
logo se o produto escalar é zero então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ.
  • Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro: existe \lambda tal que \mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}. Equivalente: o produto vetorial é o vetor nulo. O produto vetorial em coordenadas é dado pelo determinante
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_x & a_y & a_z \\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix},
e \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0} indica vetores paralelos (ou que um é nulo).

Passo 3

Extraindo as componentes dos vetores (peguei isso do enunciado):
\mathbf{a}=(-1,\,2,\,5),\qquad \mathbf{b}=(3,\,4,\,-1).

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} passo a passo:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (-1)\cdot 3 + 2\cdot 4 + 5\cdot(-1).
Agora as multiplicações:
(-1)\cdot 3 = -3,\qquad 2\cdot 4 = 8,\qquad 5\cdot(-1) = -5.
Somando:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = -3 + 8 - 5 = 0.

Passo 5

Interpretação do resultado do produto escalar: como \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0, pelas fórmulas acima isso significa que \cos\theta=0 e portanto o ângulo entre os vetores é \theta=90^\circ. Conclusão parcial: os vetores são ortogonais (perpendiculares).

Passo 6

Agora verificar se também são paralelos (para garantir que não é um caso degenerado). Uma maneira simples é testar se existe \lambda tal que \mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}. Para isso, comparar razões das componentes:
\frac{a_x}{b_x}=\frac{-1}{3}=-\tfrac{1}{3},\qquad \frac{a_y}{b_y}=\frac{2}{4}=\tfrac{1}{2},\qquad \frac{a_z}{b_z}=\frac{5}{-1}=-5.
As três razões não são iguais ( -\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2} e -5 são diferentes), logo não existe um único \lambda que satisfaça \mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}. Portanto não são paralelos.

Passo 7

(Opcional — checagem via produto vetorial) Calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b} para ver se é vetor nulo:
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & 2 & 5 \\\\ 3 & 4 & -1 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \mathbf{i}(2\cdot(-1)-5\cdot 4) - \mathbf{j}((-1)\cdot(-1)-5\cdot 3) + \mathbf{k}((-1)\cdot 4 - 2\cdot 3).
Calculando cada parte:
\mathbf{i}(-2-20) = -22\mathbf{i},
-\mathbf{j}(1-15) = -\mathbf{j}(-14) = 14\mathbf{j},
\mathbf{k}(-4-6) = -10\mathbf{k}.
Portanto
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -22\mathbf{i} + 14\mathbf{j} - 10\mathbf{k},
que é um vetor não nulo. Isso confirma que \mathbf{a} e \mathbf{b} não são paralelos.

Passo 8

Resumo final do raciocínio (motivo pelo qual a resposta é única):
  • Produto escalar zero \Rightarrow vetores ortogonais.
  • Teste de múltiplo escalar (ou produto vetorial não nulo) \Rightarrow não são paralelos.
    Como nenhum dos vetores é o vetor nulo, não há ambiguidade.

Resposta

Ortogonais.

Exercícios relacionados