Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois.
a=-i+2 j+5 k, \quad b=3 i+4 j-k
Passo 1
O enunciado pede para determinar se os dois vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois.
As informações fornecidas são os dois vetores: \mathbf{a} = -\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 5\mathbf{k} e \mathbf{b} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - \mathbf{k}.
Passo 2
Entender o que significa cada condição (aqui vai a “aulinha” rápida e prática):
Dois vetores são ortogonais (perpendiculares) se e somente se o produto escalar deles for zero. A fórmula do produto escalar para vetores em coordenadas é
logo se o produto escalar é zero então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ.
Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro: existe \lambda tal que \mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}. Equivalente: o produto vetorial é o vetor nulo. O produto vetorial em coordenadas é dado pelo determinante
Interpretação do resultado do produto escalar: como \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0, pelas fórmulas acima isso significa que \cos\theta=0 e portanto o ângulo entre os vetores é \theta=90^\circ. Conclusão parcial: os vetores são ortogonais (perpendiculares).
Passo 6
Agora verificar se também são paralelos (para garantir que não é um caso degenerado). Uma maneira simples é testar se existe \lambda tal que \mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}. Para isso, comparar razões das componentes:
As três razões não são iguais (-\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2} e -5 são diferentes), logo não existe um único \lambda que satisfaça \mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}. Portanto não são paralelos.
Passo 7
(Opcional — checagem via produto vetorial) Calcular \mathbf{a}\times\mathbf{b} para ver se é vetor nulo: