Determine os vetores tangente e normal unitários \mathbf{T}(t) e \mathbf{N}(t). (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. \mathbf{r}(t)=\langle 5 \operatorname{sen} t, t, 5 \cos t\rangle Passo 1O enunciado dá a curva \mathbf{r}(t)=\langle 5\sin t,\;t,\;5\cos t\rangle e pede os vetores tangente e normal unitários \mathbf{T}(t), \mathbf{N}(t) e a curvatura usando a Fórmula 9, que é \kappa(t)=\frac{\bigl\|\mathbf{T}'(t)\bigr\|}{\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|}. Precisamos então calcular \mathbf{r}'(t), seu módulo, depois \mathbf{T}(t), \mathbf{T}'(t), e obter \mathbf{N}(t) e \kappa(t). Passo 2Calcular a derivada primeira: \mathbf{r}'(t)=\langle 5\cos t,\;1,\;-5\sin t\rangle. Passo 3Calcular o módulo de \mathbf{r}'(t): \bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| =\sqrt{(5\cos t)^2+1^2+(-5\sin t)^2} =\sqrt{25(\cos^2t+\sin^2t)+1} =\sqrt{26}. Passo 4O vetor tangente unitário é \mathbf{T}(t) =\frac{\mathbf{r}'(t)}{\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|} =\frac{1}{\sqrt{26}}\bigl\langle 5\cos t,\;1,\;-5\sin t\bigr\rangle. Passo 5Derivar \mathbf{T}(t) para obter \mathbf{T}'(t): \mathbf{T}'(t) =\frac{1}{\sqrt{26}}\bigl\langle -5\sin t,\;0,\;-5\cos t\bigr\rangle. Passo 6Calcular o módulo de \mathbf{T}'(t): \bigl\|\mathbf{T}'(t)\bigr\| =\frac{1}{\sqrt{26}}\sqrt{(-5\sin t)^2+0^2+(-5\cos t)^2} =\frac{1}{\sqrt{26}}\sqrt{25(\sin^2t+\cos^2t)} =\frac{5}{\sqrt{26}}. Passo 7O vetor normal unitário é \mathbf{N}(t) =\frac{\mathbf{T}'(t)}{\bigl\|\mathbf{T}'(t)\bigr\|} =\frac{\frac{1}{\sqrt{26}}\langle -5\sin t,0,-5\cos t\rangle}{\frac{5}{\sqrt{26}}} =\langle -\sin t,\;0,\;-\,\cos t\rangle. Passo 8Aplicar a Fórmula 9 para a curvatura: \kappa(t) =\frac{\bigl\|\mathbf{T}'(t)\bigr\|}{\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|} =\frac{\frac{5}{\sqrt{26}}}{\sqrt{26}} =\frac{5}{26}. Resposta \displaystyle \mathbf{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{26}}\bigl\langle 5\cos t,\;1,\;-5\sin t\bigr\rangle \displaystyle \mathbf{N}(t)=\langle -\sin t,\;0,\;-\,\cos t\rangle \displaystyle \kappa(t)=\frac{5}{26}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine os vetores tangente e normal unitários \mathbf{T}(t) e \mathbf{N}(t). (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. \mathbf{r}(t)=\langle 5 \operatorname{sen} t, t, 5 \cos t\rangle Determine o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto indicado da curva. \mathbf{r}(t)=\operatorname{sen} t \mathbf{i}+5 t \mathbf{j}+\cos t \mathbf{k}, \quad(0,0,1) Determine os vetores tangente e normal unitários \mathbf{T}(t) e \mathbf{N}(t). (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. \mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, 4\right\rangle Determine os vetores tangente e normal unitários \mathbf{T}(t) e \mathbf{N}(t). (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. \mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, 4\right\rangle