Determine os vetores tangente e normal unitários \mathbf{T}(t) e \mathbf{N}(t).
(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
\mathbf{r}(t)=\langle 5 \operatorname{sen} t, t, 5 \cos t\rangle

Passo 1

O enunciado dá a curva
\mathbf{r}(t)=\langle 5\sin t,\;t,\;5\cos t\rangle
e pede os vetores tangente e normal unitários \mathbf{T}(t), \mathbf{N}(t) e a curvatura usando a Fórmula 9, que é
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\mathbf{T}'(t)\bigr\|}{\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|}.
Precisamos então calcular \mathbf{r}'(t), seu módulo, depois \mathbf{T}(t), \mathbf{T}'(t), e obter \mathbf{N}(t) e \kappa(t).

Passo 2

Calcular a derivada primeira:
\mathbf{r}'(t)=\langle 5\cos t,\;1,\;-5\sin t\rangle.

Passo 3

Calcular o módulo de \mathbf{r}'(t):
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| =\sqrt{(5\cos t)^2+1^2+(-5\sin t)^2} =\sqrt{25(\cos^2t+\sin^2t)+1} =\sqrt{26}.

Passo 4

O vetor tangente unitário é
\mathbf{T}(t) =\frac{\mathbf{r}'(t)}{\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|} =\frac{1}{\sqrt{26}}\bigl\langle 5\cos t,\;1,\;-5\sin t\bigr\rangle.

Passo 5

Derivar \mathbf{T}(t) para obter \mathbf{T}'(t):
\mathbf{T}'(t) =\frac{1}{\sqrt{26}}\bigl\langle -5\sin t,\;0,\;-5\cos t\bigr\rangle.

Passo 6

Calcular o módulo de \mathbf{T}'(t):
\bigl\|\mathbf{T}'(t)\bigr\| =\frac{1}{\sqrt{26}}\sqrt{(-5\sin t)^2+0^2+(-5\cos t)^2} =\frac{1}{\sqrt{26}}\sqrt{25(\sin^2t+\cos^2t)} =\frac{5}{\sqrt{26}}.

Passo 7

O vetor normal unitário é
\mathbf{N}(t) =\frac{\mathbf{T}'(t)}{\bigl\|\mathbf{T}'(t)\bigr\|} =\frac{\frac{1}{\sqrt{26}}\langle -5\sin t,0,-5\cos t\rangle}{\frac{5}{\sqrt{26}}} =\langle -\sin t,\;0,\;-\,\cos t\rangle.

Passo 8

Aplicar a Fórmula 9 para a curvatura:
\kappa(t) =\frac{\bigl\|\mathbf{T}'(t)\bigr\|}{\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|} =\frac{\frac{5}{\sqrt{26}}}{\sqrt{26}} =\frac{5}{26}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{26}}\bigl\langle 5\cos t,\;1,\;-5\sin t\bigr\rangle \displaystyle \mathbf{N}(t)=\langle -\sin t,\;0,\;-\,\cos t\rangle \displaystyle \kappa(t)=\frac{5}{26}.

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