Determine o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto indicado da curva.
\mathbf{r}(t)=\operatorname{sen} t \mathbf{i}+5 t \mathbf{j}+\cos t \mathbf{k}, \quad(0,0,1)

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\mathbf{r}(t) = \sin t\,\mathbf{i} + 5t\,\mathbf{j} + \cos t\,\mathbf{k}
e pede o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t) no ponto (0,0,1). Para isso precisamos de duas coisas: a definição de vetor tangente unitário
\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|},
e o valor do parâmetro t tal que \mathbf{r}(t)=(0,0,1).

Passo 2

Calcular a derivada de \mathbf{r}(t):
\mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(\sin t,\;5t,\;\cos t\bigr) = (\cos t,\;5,\;-\,\sin t).

Passo 3

Determinar t_0 satisfazendo
\mathbf{r}(t_0) = (\sin t_0,\;5t_0,\;\cos t_0) = (0,0,1).
Isso implica \sin t_0 = 0,\;5t_0=0,\;\cos t_0=1.
Da segunda equação t_0=0, e de fato \sin0=0, \cos0=1.

Passo 4

Avaliar \mathbf{r}'(t) em t_0=0:
\mathbf{r}'(0) = (\cos0,\;5,\;-\,\sin0) = (1,\,5,\,0).

Passo 5

Calcular a norma de \mathbf{r}'(0):
\|\mathbf{r}'(0)\| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{26}.
Logo o vetor tangente unitário em t=0 é
\mathbf{T}(0) = \frac{\mathbf{r}'(0)}{\|\mathbf{r}'(0)\|} = \frac{1}{\sqrt{26}}\,(1,\,5,\,0).

Resposta

\mathbf{T}(0) = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{26}},\,\tfrac{5}{\sqrt{26}},\,0\Bigr).

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