Determine se os vetores vec{v} e vec{w} são LI ou LD, onde:
vec{v}=\left(-\frac{1}{5}, \frac{4}{3}\right), vec{w}=\left(2, \frac{8}{15}\right),

Passo 1

O enunciado pede para determinar se os vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Os vetores fornecidos são:
\vec{v}=\left(-\dfrac{1}{5},\\ \dfrac{4}{3}\right), \qquad \vec{w}=\left(2,\\ \dfrac{8}{15}\right).
Informações relevantes dadas: as coordenadas de \vec{v} e \vec{w} em \mathbb{R}^2. A pergunta é uma única: classificar os vetores como LI ou LD.

Passo 2

O que significa LI/LD para dois vetores em \mathbb{R}^2?
  • Dois vetores \vec{v} e \vec{w} são linearmente dependentes (LD) se existe um escalar k tal que
\vec{v}=k\vec{w}\quad\text{ou}\quad \vec{w}=k\vec{v}.
Isto significa que um é múltiplo escalar do outro (eles ficam na mesma reta passando pela origem).
  • Caso não exista tal k, os vetores são linearmente independentes (LI).
Dica prática para resolver no exame:
  • Método mais direto: tentar achar k pelas componentes (comparar razões das componentes); se as razões forem iguais para ambas as componentes, são LD; se forem diferentes, são LI.
  • Método alternativo (rápido em R^2): calcular o determinante da matriz cujas colunas são os vetores. Para \vec{v}=(v_1,v_2) e \vec{w}=(w_1,w_2),
\det\begin{pmatrix}v_1 & w_1 \\[4pt] v_2 & w_2\end{pmatrix}=v_1w_2-v_2w_1.
Se esse determinante é zero, os vetores são LD; se é diferente de zero, são LI.]

Passo 3

Aplicando o método do múltiplo escalar (passo a passo):
  • Suponha que exista k tal que \vec{v}=k\vec{w}. Pelas primeiras componentes:
k=\dfrac{v_1}{w_1}=\dfrac{-\tfrac{1}{5}}{2}=-\dfrac{1}{10}.
  • Verificar a segunda componente: calcular k w_2 e comparar com v_2.
k w_2 = \left(-\dfrac{1}{10}\right)\left(\dfrac{8}{15}\right) = -\dfrac{8}{150} = -\dfrac{4}{75}.
Mas
v_2=\dfrac{4}{3}=\dfrac{100}{75}.
Como
-\dfrac{4}{75}\neq \dfrac{100}{75},
não existe k que iguale ambas as componentes simultaneamente. Portanto NÃO são múltiplos escalares um do outro; isso sugere que os vetores são LI.

Passo 4

Confirmação pelo determinante (cálculo cuidadoso com frações):
  • Calcular v_1w_2:
v_1w_2=\left(-\dfrac{1}{5}\right)\left(\dfrac{8}{15}\right)=-\dfrac{8}{75}.
  • Calcular v_2w_1:
v_2w_1=\left(\dfrac{4}{3}\right)\cdot 2=\dfrac{8}{3}=\dfrac{200}{75}.
  • Determinante:
\det = v_1w_2 - v_2w_1 = -\dfrac{8}{75} - \dfrac{200}{75} = -\dfrac{208}{75}.
Como
-\dfrac{208}{75}\neq 0,
o determinante é diferente de zero, logo \vec{v} e \vec{w} são linearmente independentes (LI). Esse resultado confirma a conclusão do passo anterior.

Passo 5

Interpretação final e dica prática:
  • Conclusão: os vetores não estão na mesma reta através da origem; eles formam um par de direções distintas em \mathbb{R}^2.
  • Para a prova: ao ver dois vetores em \mathbb{R}^2, primeiro tente comparar razões das componentes (se w_1\neq0 e w_2\neq0 isso é muito rápido). Se houver dúvida ou frações confusas, calcule o determinante; se for diferente de zero, encerra rápido que é LI. Mantém as contas com denominadores comuns para evitar erro com frações.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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