Determine se os vetores
e
são LI ou LD, onde:
,
Passo 1
O enunciado pede para determinar se os vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Os vetores fornecidos são:
Informações relevantes dadas: as coordenadas de
e
em
. A pergunta é uma única: classificar os vetores como LI ou LD.
Passo 2
O que significa LI/LD para dois vetores em
?
- Dois vetores
e são linearmente dependentes (LD) se existe um escalar tal que
Isto significa que um é múltiplo escalar do outro (eles ficam na mesma reta passando pela origem).
- Caso não exista tal
, os vetores são linearmente independentes (LI).
Dica prática para resolver no exame:
- Método mais direto: tentar achar
pelas componentes (comparar razões das componentes); se as razões forem iguais para ambas as componentes, são LD; se forem diferentes, são LI. - Método alternativo (rápido em R^2): calcular o determinante da matriz cujas colunas são os vetores. Para
e ,
Se esse determinante é zero, os vetores são LD; se é diferente de zero, são LI.]
Passo 3
Aplicando o método do múltiplo escalar (passo a passo):
- Suponha que exista
tal que . Pelas primeiras componentes:
- Verificar a segunda componente: calcular
e comparar com .
Mas
Como
não existe
que iguale ambas as componentes simultaneamente. Portanto NÃO são múltiplos escalares um do outro; isso sugere que os vetores são LI.
Passo 4
Confirmação pelo determinante (cálculo cuidadoso com frações):
- Calcular
:
- Calcular
:
- Determinante:
Como
o determinante é diferente de zero, logo
e
são linearmente independentes (LI). Esse resultado confirma a conclusão do passo anterior.
Passo 5
Interpretação final e dica prática:
- Conclusão: os vetores não estão na mesma reta através da origem; eles formam um par de direções distintas em
. - Para a prova: ao ver dois vetores em
, primeiro tente comparar razões das componentes (se e isso é muito rápido). Se houver dúvida ou frações confusas, calcule o determinante; se for diferente de zero, encerra rápido que é LI. Mantém as contas com denominadores comuns para evitar erro com frações.
Resposta
Os vetores são linearmente independentes.