Sejam
pontos do plano.
a. Determine as equações paramétricas e as equações paramétricas das retas que contêm as medianas do triângulo
.
b. Determine o baricentro do triângulo
, achando o ponto de interseção das três retas do item anterior.
a. Determine as equações paramétricas e as equações paramétricas das retas que contêm as medianas do triângulo
b. Determine o baricentro do triângulo
Passo 1
O enunciado dá três pontos do plano:
O que pede:
- (a) Determinar as equações paramétricas (e também as equações cartesiana/implícita, para ficar completo) das retas que contêm as medianas do triângulo
. Cada mediana é a reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. - (b) Determinar o baricentro (centro de massa) do triângulo
, isto é, o ponto de interseção das três medianas.
Informações relevantes dadas: as coordenadas dos vértices
,
e
. Não há mais dados necessários.
Passo 2
Primeiro precisamos achar os pontos médios dos lados opostos, porque cada mediana vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. Vou usar a fórmula do ponto médio: para dois pontos
e
,
Calculando:
- Ponto médio de
e (o ponto médio do lado , que chamarei de ):
- Ponto médio de
e (chamado ):
- Ponto médio de
e (chamado ):
Resumo (peguei esses números das coordenadas dadas dos pontos
):
Passo 3
Agora vou construir cada mediana. Conceito usado: a equação paramétrica de uma reta que passa por um ponto
com vetor direção
é
ou em coordenadas:
Aqui
é o parâmetro real que percorre a reta:
dá o ponto inicial
, valores distintos de
dão outros pontos da reta; trocar
por qualquer múltiplo escalar não muda a reta, apenas a parametrização.
Para cada mediana escolho como ponto inicial o vértice e como vetor direção o vetor que vai desse vértice até o ponto médio do lado oposto:
Vou simplificar os vetores multiplicando por constantes para obter componentes inteiras (isso não altera a reta).
Passo 4
Mediana a partir de
(liga
a
):
- Vetor direção:
Multiplicando por
para ficar com inteiros:
.
- Equação paramétrica (usando parâmetro
):
ou seja
- Equação cartesiana (eliminar
): . Multiplicando e rearranjando para forma linear:
Mediana a partir de
(liga
a
):
- Vetor direção:
Multiplicando por
:
.
- Equação paramétrica:
ou
- Equação cartesiana:
Mediana a partir de
(liga
a
):
- Vetor direção:
Multiplicando por
:
.
- Equação paramétrica:
ou
- Equação cartesiana:
Recapitulando as equações (peguei as coordenadas dos pontos médios calculadas anteriormente e escolhi vetores direção com componentes inteiras para simplificar).
Passo 5
Agora determinamos o baricentro [G). Há duas maneiras naturais e equivalentes:
Método direto (fórmula do baricentro): o baricentro de um triângulo com vértices
é
Aplicando aos valores:
Logo
.
Verificação por interseção de duas medianas (confirmação prática): tomo as paramétricas das medianas de
e
:
Igualando as coordenadas para encontrar ponto comum, por exemplo usando a primeira coordenada:
E usando a segunda coordenada:
Podemos resolver; uma maneira rápida é eliminar
. Da segunda equação:
Da primeira:
Agora resolver o sistema para
e
. Multiplicar a expressão
por
e a expressão
por
e subtrair para eliminar
, ou mais simples: observando simetria, tenta-se
. Se
, da primeira mediana:
Então o ponto de interseção é
, que coincide com a fórmula direta. Pode-se checar que nas outras medianas o parâmetro correspondente também é
, confirmando que todas três medianas se encontram nesse ponto.]
Passo 6
Resumo prático para a prova: para cada mediana calcule o ponto médio do lado oposto (fórmula média), forme o vetor direção (ponto médio menos vértice) e escreva a paramétrica
. O baricentro é a média das coordenadas dos vértices. Se ficar sem tempo, lembre: o baricentro divide cada mediana na razão
(do vértice para o ponto médio), portanto o parâmetro que leva do vértice até o baricentro aqui foi
se a mediana foi escrita como
.
Resposta
(a) Mediana a partir de
(para
):
Equação cartesiana:
Equação cartesiana:
(a) Mediana a partir de
(para
):
Equação cartesiana:
Equação cartesiana:
(a) Mediana a partir de
(para
):
Equação cartesiana:
Equação cartesiana:
(b) Baricentro: