Sejam A=(3,2), B=(-1,1), C=(0,-2) pontos do plano.
a. Determine as equações paramétricas e as equações paramétricas das retas que contêm as medianas do triângulo A B C.
b. Determine o baricentro do triângulo A B C, achando o ponto de interseção das três retas do item anterior.

Passo 1

O enunciado dá três pontos do plano:
  • A=(3,2)
  • B=(-1,1)
  • C=(0,-2)
O que pede:
  • (a) Determinar as equações paramétricas (e também as equações cartesiana/implícita, para ficar completo) das retas que contêm as medianas do triângulo A B C. Cada mediana é a reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
  • (b) Determinar o baricentro (centro de massa) do triângulo A B C, isto é, o ponto de interseção das três medianas.
Informações relevantes dadas: as coordenadas dos vértices A, B e C. Não há mais dados necessários.

Passo 2

Primeiro precisamos achar os pontos médios dos lados opostos, porque cada mediana vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto. Vou usar a fórmula do ponto médio: para dois pontos P=(x_P,y_P) e Q=(x_Q,y_Q),
\text{ponto médio } M_{PQ}=\left(\dfrac{x_P+x_Q}{2},\dfrac{y_P+y_Q}{2}\right).é
Calculando:
  • Ponto médio de B e C (o ponto médio do lado BC, que chamarei de M_{BC}):
M_{BC}=\left(\dfrac{-1+0}{2},\dfrac{1+(-2)}{2}\right)=\left(\dfrac{-1}{2},\dfrac{-1}{2}\right).
  • Ponto médio de A e C (chamado M_{AC}):
M_{AC}=\left(\dfrac{3+0}{2},\dfrac{2+(-2)}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2},0\right).
  • Ponto médio de A e B (chamado M_{AB}):
M_{AB}=\left(\dfrac{3+(-1)}{2},\dfrac{2+1}{2}\right)=\left(1,\dfrac{3}{2}\right).
Resumo (peguei esses números das coordenadas dadas dos pontos A,B,C):
M_{BC}=\left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right),\quad M_{AC}=\left(\tfrac{3}{2},0\right),\quad M_{AB}=\left(1,\tfrac{3}{2}\right).

Passo 3

Agora vou construir cada mediana. Conceito usado: a equação paramétrica de uma reta que passa por um ponto P=(x_0,y_0) com vetor direção \vec{v}=(v_x,v_y) é
(x,y)=(x_0,y_0)+t(v_x,v_y),\qquad t\in\mathbb{R},
ou em coordenadas:
x=x_0+t v_x,\qquad y=y_0+t v_y.
Aqui t é o parâmetro real que percorre a reta: t=0 dá o ponto inicial P, valores distintos de t dão outros pontos da reta; trocar \vec{v} por qualquer múltiplo escalar não muda a reta, apenas a parametrização.
Para cada mediana escolho como ponto inicial o vértice e como vetor direção o vetor que vai desse vértice até o ponto médio do lado oposto:
\vec{d} = \text{(ponto médio)} - \text{(vértice)}.éé
Vou simplificar os vetores multiplicando por constantes para obter componentes inteiras (isso não altera a reta).

Passo 4

Mediana a partir de A (liga A a M_{BC}):
  • Vetor direção:
\vec{d}_A = M_{BC}-A=\left(-\tfrac{1}{2}-3,\; -\tfrac{1}{2}-2\right)=\left(-\tfrac{7}{2},-\tfrac{5}{2}\right).
Multiplicando por 2 para ficar com inteiros: \vec{d}_A' = (-7,-5).
  • Equação paramétrica (usando parâmetro t):
(x,y)=(3,2)+t(-7,-5),\qquad t\in\mathbb{R},
ou seja
x=3-7t,\qquad y=2-5t.
  • Equação cartesiana (eliminar t): \dfrac{x-3}{-7}=\dfrac{y-2}{-5}. Multiplicando e rearranjando para forma linear:
5(x-3)-7(y-2)=0\quad\Rightarrow\quad 5x-7y-1=0.
Mediana a partir de B (liga B a M_{AC}):
  • Vetor direção:
\vec{d}_B = M_{AC}-B=\left(\tfrac{3}{2}-(-1),\;0-1\right)=\left(\tfrac{5}{2},-1\right).
Multiplicando por 2: \vec{d}_B'=(5,-2).
  • Equação paramétrica:
(x,y)=(-1,1)+t(5,-2),\qquad t\in\mathbb{R},
ou
x=-1+5t,\qquad y=1-2t.
  • Equação cartesiana:
\dfrac{x+1}{5}=\dfrac{y-1}{-2}\quad\Rightarrow\quad -2(x+1)=5(y-1),
\Rightarrow\quad -2x-2=5y-5\quad\Rightarrow\quad 2x+5y-3=0.
Mediana a partir de C (liga C a M_{AB}):
  • Vetor direção:
\vec{d}_C = M_{AB}-C=\left(1-0,\;\tfrac{3}{2}-(-2)\right)=(1,\tfrac{7}{2}).
Multiplicando por 2: \vec{d}_C'=(2,7).
  • Equação paramétrica:
(x,y)=(0,-2)+t(2,7),\qquad t\in\mathbb{R},
ou
x=2t,\qquad y=-2+7t.
  • Equação cartesiana:
\dfrac{x-0}{2}=\dfrac{y+2}{7}\quad\Rightarrow\quad 7x=2(y+2),
\Rightarrow\quad 7x-2y-4=0.
Recapitulando as equações (peguei as coordenadas dos pontos médios calculadas anteriormente e escolhi vetores direção com componentes inteiras para simplificar).

Passo 5

Agora determinamos o baricentro [G). Há duas maneiras naturais e equivalentes:
Método direto (fórmula do baricentro): o baricentro de um triângulo com vértices A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B), C=(x_C,y_C) é
G=\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right).
Aplicando aos valores:
x_G=\dfrac{3+(-1)+0}{3}=\dfrac{2}{3},\qquad y_G=\dfrac{2+1+(-2)}{3}=\dfrac{1}{3}.
Logo G=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right).
Verificação por interseção de duas medianas (confirmação prática): tomo as paramétricas das medianas de A e B:
\begin{cases} x=3-7t,\\[4pt] y=2-5t, \end{cases} \qquad\text{e}\qquad \begin{cases} x=-1+5s,\\[4pt] y=1-2s. \end{cases}
Igualando as coordenadas para encontrar ponto comum, por exemplo usando a primeira coordenada:
3-7t=-1+5s.
E usando a segunda coordenada:
2-5t=1-2s.
Podemos resolver; uma maneira rápida é eliminar s\] ou \(t. Da segunda equação:
2-5t=1-2s\quad\Rightarrow\quad -5t=-1-2s\quad\Rightarrow\quad 5t=1+2s.
Da primeira:
3-7t=-1+5s\quad\Rightarrow\quad -7t= -4+5s\quad\Rightarrow\quad 7t=4-5s.
Agora resolver o sistema para t e s. Multiplicar a expressão 5t=1+2s por 7 e a expressão 7t=4-5s por 5 e subtrair para eliminar t, ou mais simples: observando simetria, tenta-se t=\tfrac{1}{3}. Se t=\tfrac{1}{3}, da primeira mediana:
x=3-7\cdot\tfrac{1}{3}=3-\tfrac{7}{3}=\tfrac{9-7}{3}=\tfrac{2}{3},
y=2-5\cdot\tfrac{1}{3}=2-\tfrac{5}{3}=\tfrac{6-5}{3}=\tfrac{1}{3}.
Então o ponto de interseção é \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right), que coincide com a fórmula direta. Pode-se checar que nas outras medianas o parâmetro correspondente também é t=\tfrac{1}{3}, confirmando que todas três medianas se encontram nesse ponto.]

Passo 6

Resumo prático para a prova: para cada mediana calcule o ponto médio do lado oposto (fórmula média), forme o vetor direção (ponto médio menos vértice) e escreva a paramétrica (x,y)=(x_0,y_0)+t(v_x,v_y). O baricentro é a média das coordenadas dos vértices. Se ficar sem tempo, lembre: o baricentro divide cada mediana na razão 2:1 (do vértice para o ponto médio), portanto o parâmetro que leva do vértice até o baricentro aqui foi t=\tfrac{1}{3} se a mediana foi escrita como (x,y)=\text{vértice}+t(\text{ponto médio}-\text{vértice})ééé.

Resposta

(a) Mediana a partir de A (para M_{BC}):
x=3-7t,\\ y=2-5t,\\ t\in\mathbb{R}.
Equação cartesiana: 5x-7y-1=0.
(a) Mediana a partir de B (para M_{AC}):
x=-1+5t,\\ y=1-2t,\\ t\in\mathbb{R}.
Equação cartesiana: 2x+5y-3=0.
(a) Mediana a partir de C (para M_{AB}):
x=2t,\\ y=-2+7t,\\ t\in\mathbb{R}.
Equação cartesiana: 7x-2y-4=0.
(b) Baricentro:
\displaystyle G=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right)

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