Determine se as retas r_{1} e r_{2} são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção: r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=-t \\\ y=2+\frac{3}{2} t\end{array}, t \in \mathbb{R}, \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=4 s \\\ y=6 s\end{array}, s \in \mathbb{R}\right.).
Passo 1
O enunciado pede para decidir se as retas r_{1} e r_{2} são paralelas, coincidentes ou concorrentes; se forem concorrentes, determinar o ponto de interseção.
As informações dadas (peguei os parâmetros diretamente do enunciado) são:
Entendendo a forma paramétrica e extraindo elementos úteis.
Uma reta em forma paramétrica tem normalmente a expressão
x=x_0 + at,\qquad y=y_0 + bt,
onde (x_0,y_0) é um ponto na reta e (a,b) é um vetor diretor (mostra a direção e o sentido da reta).
Para r_1: ao escolher t=0 obtemos um ponto da reta
P_1=(x,y)=(0,2).
O vetor diretor de r_1 é dado pelos coeficientes de t, ou seja
\vec{v}_1 = (-1,\tfrac{3}{2}).
Para r_2: ao escolher s=0 obtemos um ponto da reta
P_2=(x,y)=(0,0).
O vetor diretor de r_2 é
\vec{v}_2 = (4,6).
Passo 3
Critério para paralelismo e coincidência.
Duas retas são paralelas (ou coincidentes) se e somente se os seus vetores diretores são proporcionais, isto é, existe k\in\mathbb{R} tal que \vec{v}_2 = k\vec{v}_1.
Tento encontrar k resolvendo pelas componentes:
pela primeira componente,
k\cdot(-1)=4 \quad\Rightarrow\quad k=-4.
Agora checo a segunda componente com esse k:
k\cdot\frac{3}{2} = -4\cdot\frac{3}{2} = -6.
Mas a segunda componente de \vec{v}_2 é 6, e -6\neq 6. Logo não existe k que torne \vec{v}_2 proporcional a \vec{v}_1. Conclusão: as retas não são paralelas e, portanto, também não podem ser coincidentes.
Passo 4
Como não são paralelas, podem ser concorrentes (intersectar em um ponto). Para achar a interseção igualamos as coordenadas x\) e \(y\) das duas parametrizações e resolvemos para \(s\) e \(t\):
\[\begin{cases} - t = 4s,\\[4pt] 2 + \dfrac{3}{2}t = 6s. \end{cases}
Da primeira equação obtemos (t = -4s]. Substituo na segunda: 2 + \dfrac{3}{2}(-4s) = 6s.]
Passo 5
Resolver a equação para s:
2 + \dfrac{3}{2}\cdot(-4s) = 2 - 6s = 6s.
Portanto
2 = 12s \quad\Rightarrow\quad s = \dfrac{1}{6}.
Então
t = -4s = -4\cdot\dfrac{1}{6} = -\dfrac{2}{3}.
Passo 6
Determinar o ponto de interseção substituindo s=\dfrac{1}{6} (ou t=-\dfrac{2}{3}) em qualquer das parametrizações:
Usando r_2:
x = 4s = 4\cdot\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3},\qquad y = 6s = 6\cdot\dfrac{1}{6} = 1.