Determine se as retas r_{1} e r_{2} são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=-t \\\ y=2+\frac{3}{2} t\end{array}, t \in \mathbb{R}, \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=4 s \\\ y=6 s\end{array}, s \in \mathbb{R}\right.).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se as retas r_{1} e r_{2} são paralelas, coincidentes ou concorrentes; se forem concorrentes, determinar o ponto de interseção.
As informações dadas (peguei os parâmetros diretamente do enunciado) são:
  • r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=-t \\[4pt] y=2+\dfrac{3}{2}t\end{array},\\ t\in\mathbb{R}\right..
  • r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=4s \\[4pt] y=6s\end{array},\\ s\in\mathbb{R}\right..]

Passo 2

Entendendo a forma paramétrica e extraindo elementos úteis.
Uma reta em forma paramétrica tem normalmente a expressão
x=x_0 + at,\qquad y=y_0 + bt,
onde (x_0,y_0) é um ponto na reta e (a,b) é um vetor diretor (mostra a direção e o sentido da reta).
Para r_1: ao escolher t=0 obtemos um ponto da reta
P_1=(x,y)=(0,2).
O vetor diretor de r_1 é dado pelos coeficientes de t, ou seja
\vec{v}_1 = (-1,\tfrac{3}{2}).
Para r_2: ao escolher s=0 obtemos um ponto da reta
P_2=(x,y)=(0,0).
O vetor diretor de r_2 é
\vec{v}_2 = (4,6).

Passo 3

Critério para paralelismo e coincidência.
Duas retas são paralelas (ou coincidentes) se e somente se os seus vetores diretores são proporcionais, isto é, existe k\in\mathbb{R} tal que \vec{v}_2 = k\vec{v}_1.
Tento encontrar k resolvendo pelas componentes:
pela primeira componente,
k\cdot(-1)=4 \quad\Rightarrow\quad k=-4.
Agora checo a segunda componente com esse k:
k\cdot\frac{3}{2} = -4\cdot\frac{3}{2} = -6.
Mas a segunda componente de \vec{v}_2 é 6, e -6\neq 6. Logo não existe k que torne \vec{v}_2 proporcional a \vec{v}_1. Conclusão: as retas não são paralelas e, portanto, também não podem ser coincidentes.

Passo 4

Como não são paralelas, podem ser concorrentes (intersectar em um ponto). Para achar a interseção igualamos as coordenadas x\) e \(y\) das duas parametrizações e resolvemos para \(s\) e \(t\): \[\begin{cases} - t = 4s,\\[4pt] 2 + \dfrac{3}{2}t = 6s. \end{cases}
Da primeira equação obtemos (t = -4s]. Substituo na segunda:
2 + \dfrac{3}{2}(-4s) = 6s.]

Passo 5

Resolver a equação para s:
2 + \dfrac{3}{2}\cdot(-4s) = 2 - 6s = 6s.
Portanto
2 = 12s \quad\Rightarrow\quad s = \dfrac{1}{6}.
Então
t = -4s = -4\cdot\dfrac{1}{6} = -\dfrac{2}{3}.

Passo 6

Determinar o ponto de interseção substituindo s=\dfrac{1}{6} (ou t=-\dfrac{2}{3}) em qualquer das parametrizações:
Usando r_2:
x = 4s = 4\cdot\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3},\qquad y = 6s = 6\cdot\dfrac{1}{6} = 1.
Verificação rápida com r_1:
x=-t = -\Big(-\dfrac{2}{3}\Big)=\dfrac{2}{3},\qquad y=2+\dfrac{3}{2}\Big(-\dfrac{2}{3}\Big)=2-1=1,
coincide com o ponto acima. Logo as retas se encontram exatamente em \left(\dfrac{2}{3},1\right).

Resposta

Concorrentes; ponto de interseção \left(\dfrac{2}{3},1\right).

Exercícios relacionados