Determine, via detinição, a transtormada de Fourier das funções:
g(x)=cce^-2 x, & x >= 0 0, & x<0

Passo 1

O enunciado pede para calcular, pela definição, a transformada de Fourier da função g(x) que vale e^{−2x} para x ≥ 0 e zero para x < 0. O assunto é Transformada de Fourier definicional, e vamos precisar usar a integral de e^{−ax} com a parte real de a positiva para garantir convergência.

Passo 2

A definição clássica da transformada de Fourier é
G(omega)=integral-infty^+inftyg(x),e^-iomega x,dx
Como g(x)=0 para x<0, o integral vira
G(omega)=integral0^+inftye^-2x,e^-iomega x,dx =integral0^+inftye^-(2+iomega)x,dx
Note que a parte real de (2+iω) é 2>0, então a integral converge.

Passo 3

Para resolver
integral0^+inftye^-(2+iomega)x,dx,
basta usar a antiderivada de e^{-Ax}, que é -1/A·e^{-Ax}. Temos então
integral0^+inftye^-(2+iomega)x,dx =l[-12+iomegae^-(2+iomega)xr]0^infty =0-l(-12+iomegar)=12+iomega

Passo 4

Podemos ainda racionalizar o denominador escrevendo
12+iomega =2-iomega(2+iomega)(2-iomega) =2-iomega4+omega^2
Essa forma deixa explícitas as partes real e imaginária de G(ω).

Resposta

G(omega)=12+iomega=2-iomega4+omega^2

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