Determine, via detinição, a transtormada de Fourier das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular, pela definição, a transformada de Fourier da função g(x) que vale e^{−2x} para x ≥ 0 e zero para x < 0. O assunto é Transformada de Fourier definicional, e vamos precisar usar a integral de e^{−ax} com a parte real de a positiva para garantir convergência.
Passo 2
A definição clássica da transformada de Fourier é
Como g(x)=0 para x<0, o integral vira
Note que a parte real de (2+iω) é 2>0, então a integral converge.
Passo 3
Para resolver
basta usar a antiderivada de e^{-Ax}, que é -1/A·e^{-Ax}. Temos então
Passo 4
Podemos ainda racionalizar o denominador escrevendo
Essa forma deixa explícitas as partes real e imaginária de G(ω).