Determine, via detinição, a transtormada de Fourier das funções:
f(x)=cce^-x, & x >= 0 0, & x<0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Fourier da função f(x) = e^-x, & x >= 0 0, & x < 0 definida por:
Estamos trabalhando com transformada de Fourier, que é uma ferramenta muito útil para analisar funções no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Fourier e aplicar algumas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função F(omega) = integral-infty^infty f(x) e^-i omega x , dx é dada por:
Aqui, representa a frequência angular.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função F(omega) = integral0^infty e^-x e^-i omega x , dx . Sabemos que para , então a integral só vai de até . Assim, a transformada de Fourier fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos combinar os expoentes:
e^-x cdot e^-i omega x = e^-x(1 + i omega)
Então, a integral agora é:
F(omega) = integral0^infty e^-x(1 + i omega) , dx

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar a fórmula básica da integral de uma exponencial:
integral0^infty e^-a x , dx = 1a, para Re(a) > 0
Aqui, . Como a parte real de é 1, que é positiva, podemos aplicar a fórmula.

Passo 6

Aplicando a fórmula, temos:
F(omega) = 11 + i omega

Resposta

A transformada de Fourier da função F(omega) = 11 + i omega é:

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