Determine, via detinição, a transtormada de Fourier das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Fourier da função
definida por:
Estamos trabalhando com transformada de Fourier, que é uma ferramenta muito útil para analisar funções no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Fourier e aplicar algumas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função
é dada por:
Aqui,
representa a frequência angular.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Sabemos que
para
, então a integral só vai de
até
. Assim, a transformada de Fourier fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos combinar os expoentes:
Então, a integral agora é:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar a fórmula básica da integral de uma exponencial:
Aqui,
. Como a parte real de
é 1, que é positiva, podemos aplicar a fórmula.
Passo 6
Aplicando a fórmula, temos:
Resposta
A transformada de Fourier da função
é: