Determine o volume de uma esfera obtido a partir de uma fusão de duas esferas de raio medindo 5 cm e 3 cm .

Passo 1

O enunciado diz que duas esferas, uma de raio 5\\ \text{cm} e outra de raio 3\\ \text{cm}, são fundidas e pede para determinar o volume da esfera resultante. Informações relevantes fornecidas:
  • Raio da primeira esfera: r_1 = 5\\ \text{cm}.
  • Raio da segunda esfera: r_2 = 3\\ \text{cm}.
    O que o problema pede:
  • Determinar o volume V da única esfera formada após a fusão das duas esferas originais.

Passo 2

Princípio físico/matemático que usamos: ao fundir as duas esferas sem perda de material, o volume total se conserva. Ou seja, o volume da esfera resultante é a soma dos volumes das duas esferas iniciais.
Fórmula do volume de uma esfera (essa é a fórmula básica que vamos usar):
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^{3},
onde:
  • V_{\text{esfera}} é o volume da esfera (unidade: \text{cm}^3 aqui),
  • r é o raio da esfera (unidade: \text{cm}),
  • \pi é a constante pi (aprox. 3{,}1416).

Passo 3

Calcular o volume de cada esfera separadamente usando a fórmula.
Volume da esfera de raio r_1=5\\ \text{cm}:
V_1=\frac{4}{3}\pi r_1^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot 5^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot 125.
Volume da esfera de raio r_2=3\\ \text{cm}:
V_2=\frac{4}{3}\pi r_2^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot 3^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot 27.

Passo 4

Somar os volumes para obter o volume total disponível para formar a nova esfera:
V_{\text{total}}=V_1+V_2=\frac{4}{3}\pi(125)+\frac{4}{3}\pi(27)=\frac{4}{3}\pi(125+27).
Calcular a soma dentro do parêntese:
125+27=152,
portanto
V_{\text{total}}=\frac{4}{3}\pi\cdot 152.
Multiplicando 4 por 152:
4\cdot 152=608,
logo
V_{\text{total}}=\frac{608}{3}\pi\\ \text{cm}^3.
Essa é a expressão exata do volume da esfera resultante.

Passo 5

Se quiser a forma numérica aproximada, multiplicar por \pi. Primeiro calcule \dfrac{608}{3}:
\frac{608}{3}=202{,}666\ldots
Agora multiplicando por \pi\approx3{,}1416:
V_{\text{total}}\approx 202{,}666\ldots \times 3{,}1416 \approx 636{,}17\\ \text{cm}^3.

Passo 6

(se for útil na prova) também podemos obter o raio R da esfera resultante resolvendo
\frac{4}{3}\pi R^{3}= \frac{608}{3}\pi \quad\Rightarrow\quad R^{3}=152,
então o raio é
R=\sqrt[3]{152}\approx 5{,}34\\ \text{cm}.
Isso confirma que a esfera resultante tem raio um pouco maior que 5\\ \text{cm}, o que faz sentido porque a esfera maior dominava o volume.

Resposta

\displaystyle V=\frac{608}{3}\pi\\ \text{cm}^3 \approx 636{,}17\\ \text{cm}^3

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