Determine o raio de uma esfera que possui 36 \pi \mathrm{~cm}^{3} de volume.

Passo 1

O enunciado dá o volume de uma esfera e pede o raio. Informações relevantes:
  • Volume: V = 36\pi\\ \mathrm{cm}^3.
  • Pergunta: determinar o raio r da esfera.

Passo 2

Fórmula que relaciona volume e raio de uma esfera:
V = \frac{4}{3}\pi r^3.
Explicando cada símbolo:
  • V é o volume (a quantidade de espaço dentro da esfera), aqui em \mathrm{cm}^3.
  • r é o raio da esfera, que queremos encontrar (em \mathrm{cm}).
  • \pi é a constante geométrica (aprox. 3,14159\ldots).
    A fórmula vem da geometria da esfera; para resolver o problema vamos usá-la algebraicamente.

Passo 3

Isolar r^3 na fórmula, ou seja, manipular a equação para deixar r^3 sozinha:
V = \frac{4}{3}\pi r^3 \quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{3V}{4\pi}.
Aqui multiplicou-se ambos os lados por \dfrac{3}{4\pi} (operações válidas desde que \pi\neq0), obtendo a expressão para r^3.

Passo 4

Substituir o valor dado de V na expressão encontrada:
r^3 = \frac{3\cdot (36\pi)}{4\pi}.
Observe que o dado V=36\pi\\ \mathrm{cm}^3 foi colocado literalmente na fórmula.

Passo 5

Simplificar a expressão passo a passo:
  • Multiplicar 3 por 36: 3\cdot36 = 108.
  • Então o numerador é 108\pi.
  • Cancelar \pi no numerador e denominador, já que \pi\neq0.
  • Dividir 108 por 4: 108/4 = 27.
Portanto
r^3 = 27.

Passo 6

Extrair a raiz cúbica para obter r:
r = \sqrt[3]{27}.
Como 3^3 = 27, segue que
r = 3.
Não esquecer a unidade: o raio está em centímetros, então r = 3\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Verificação rápida (controle de erro): calcular o volume com r=3\\ \mathrm{cm}:
V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot 27 = 36\pi,
que coincide com o enunciado. Tudo batendo certinho!

Resposta

\,3\\ \mathrm{cm}

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