Determine a medida da superfície e do volume de uma esfera, sabendo que o seu raio mede
do raio de uma outra esfera cujo volume é
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a área da superfície e o volume de uma esfera (a esfera menor). As informações dadas são:
- O raio da esfera menor mede
do raio da outra esfera. Se chamar o raio da esfera maior de e o raio da esfera menor de , então . - O volume da esfera maior é
. Ou seja,
O que se pede:
- A medida da superfície da esfera menor (área da superfície).
- O volume da esfera menor.
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas que vou usar e explicar o que cada símbolo significa.
- Fórmula do volume de uma esfera:
onde
é o volume da esfera e
é o raio da esfera. Unidade de
:
.
- Fórmula da área da superfície de uma esfera:
onde
é a área da superfície e
é o raio. Unidade de
:
.
Essas fórmulas são padrão: cresce com o cubo do raio (por isso
) e
com o quadrado do raio (por isso
).
Essas fórmulas são padrão:
Passo 3
Primeiro encontro o raio da esfera maior
a partir do volume dado. Aplicando a fórmula do volume para a esfera maior:
Posso simplificar dividindo ambos os lados por
:
Agora isolo
:
Faço a multiplicação:
logo
Passo 4
Calculo
tirando a raiz cúbica de
. Note que
e
,
, então
Portanto o raio da esfera maior é
.
Passo 5
Agora obtenho o raio da esfera menor usando
:
Logo
.
Passo 6
Calculo o volume da esfera menor aplicando a fórmula do volume com
:
Faço a multiplicação
, então
Passo 7
Calculo a área da superfície da esfera menor usando
:
Portanto
Passo 8
Observação rápida (útil para prova): como
, o volume escala por
e a área por
. Verificando com o volume dado da esfera maior:
coincidindo com o que calculei.