Determine a medida da superfície e do volume de uma esfera, sabendo que o seu raio mede \frac{1}{5} do raio de uma outra esfera cujo volume é 4500 \pi \mathrm{~cm}^{3}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a área da superfície e o volume de uma esfera (a esfera menor). As informações dadas são:
  • O raio da esfera menor mede \tfrac{1}{5} do raio da outra esfera. Se chamar o raio da esfera maior de R e o raio da esfera menor de r, então \;r=\tfrac{1}{5}R.
  • O volume da esfera maior é \;4500\pi\\ \mathrm{cm}^3. Ou seja,
V_{\text{maior}} = 4500\pi\\ \mathrm{cm}^3.
O que se pede:
  • A medida da superfície da esfera menor (área da superfície).
  • O volume da esfera menor.

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas que vou usar e explicar o que cada símbolo significa.
  • Fórmula do volume de uma esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^{3},
onde \;V é o volume da esfera e \;r é o raio da esfera. Unidade de V: \mathrm{cm}^3.
  • Fórmula da área da superfície de uma esfera:
A=4\pi r^{2},
onde \;A é a área da superfície e \;r é o raio. Unidade de A: \mathrm{cm}^2.
Essas fórmulas são padrão: V cresce com o cubo do raio (por isso r^3) e A com o quadrado do raio (por isso r^2).

Passo 3

Primeiro encontro o raio da esfera maior R a partir do volume dado. Aplicando a fórmula do volume para a esfera maior:
\frac{4}{3}\pi R^{3}=4500\pi.
Posso simplificar dividindo ambos os lados por \pi:
\frac{4}{3}R^{3}=4500.
Agora isolo R^{3}:
R^{3}=4500\cdot\frac{3}{4}.
Faço a multiplicação:
4500\cdot\frac{3}{4}=4500\cdot0,75=3375,
logo
R^{3}=3375.

Passo 4

Calculo R tirando a raiz cúbica de 3375. Note que 3375=27\cdot125 e \sqrt[3]{27}=3, \sqrt[3]{125}=5, então
R=\sqrt[3]{3375}=\sqrt[3]{27\cdot125}=3\cdot5=15.
Portanto o raio da esfera maior é \;R=15\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Agora obtenho o raio da esfera menor usando \;r=\tfrac{1}{5}R:
r=\frac{1}{5}\cdot15=3.
Logo \;r=3\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Calculo o volume da esfera menor aplicando a fórmula do volume com r=3:
V_{\text{menor}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot 3^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot27.
Faço a multiplicação \tfrac{4}{3}\cdot27=4\cdot9=36, então
V_{\text{menor}=}36\pi\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 7

Calculo a área da superfície da esfera menor usando r=3:
A_{\text{menor}}=4\pi r^{2}=4\pi\cdot 3^{2}=4\pi\cdot9=36\pi.
Portanto
A_{\text{menor}}=36\pi\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 8

Observação rápida (útil para prova): como r=\tfrac{1}{5}R, o volume escala por \left(\tfrac{1}{5}\right)^{3}=\tfrac{1}{125} e a área por \left(\tfrac{1}{5}\right)^{2}=\tfrac{1}{25}. Verificando com o volume dado da esfera maior:
\frac{4500\pi}{125}=36\pi,
coincidindo com o que calculei.

Resposta

A_{\text{menor}}=36\pi\\ \mathrm{cm}^2
V_{\text{menor}}=36\pi\\ \mathrm{cm}^3

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