Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno de
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
,
,
e
em torno do eixo
.
Informações dadas e o que precisamos usar:
Informações dadas e o que precisamos usar:
- Curva superior:
. - Curva inferior:
. - Limites verticais em
: e . - Eixo de rotação:
(reta vertical).
Pedido: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Qual método usar? Aqui a rotação é em torno de uma reta vertical (
) e a região está descrita por
em função de
. Um método muito prático é o dos cilindros (método das cascas cilíndricas), porque escolhemos fatias verticais em
e cada fatia gera uma casca cilíndrica ao girar em torno de
.
Lembrete didático do método das cascas:
- Pegamos uma fatia vertical de espessura
localizada em . - Ao girar em torno de
, essa fatia gera uma casca cilíndrica cuja: - altura é a diferença entre as curvas superior e inferior:
. - raio é a distância da fatia até o eixo de rotação:
(porque o eixo é ). - espessura é
.
- altura é a diferença entre as curvas superior e inferior:
- Volume da casca aproximado por:
(circunferência) (altura) (espessura) .
Agora aplicando ao nosso caso:
-
. -
.
Portanto a integral do volume é
Passo 3
Vamos simplificar a integral usando uma substituição padrão. Note que a derivada de
é
, então a substituição
funciona bem.
Faça:
Troca dos limites:
- quando
temos ; - quando
temos .
Substituindo na integral obtida no passo anterior:
Fatorando o
:
Passo 4
Agora avaliamos a integral
.
Recordando que uma primitiva de
é
, temos:
Sabendo que
e
, obtemos o valor da integral:
Portanto a expressão para o volume ficou reduzida a
vezes esse resultado (o produto final será apresentado na seção de resposta).