Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
y=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right), y=0, x=0, x=\sqrt{\pi}; em torno de x=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y=\operatorname{sen}\!(x^{2}), y=0, x=0 e x=\sqrt{\pi} em torno do eixo x=0.
Informações dadas e o que precisamos usar:
  • Curva superior: y=\operatorname{sen}\!(x^{2}).
  • Curva inferior: y=0.
  • Limites verticais em x: x=0 e x=\sqrt{\pi}.
  • Eixo de rotação: x=0 (reta vertical).
    Pedido: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Qual método usar? Aqui a rotação é em torno de uma reta vertical ( x=0) e a região está descrita por y em função de x. Um método muito prático é o dos cilindros (método das cascas cilíndricas), porque escolhemos fatias verticais em x e cada fatia gera uma casca cilíndrica ao girar em torno de x=0.
Lembrete didático do método das cascas:
  • Pegamos uma fatia vertical de espessura \,dx localizada em x.
  • Ao girar em torno de x=0, essa fatia gera uma casca cilíndrica cuja:
    • altura é a diferença entre as curvas superior e inferior: \text{altura} = y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}}.
    • raio é a distância da fatia até o eixo de rotação: \text{raio} = x (porque o eixo é x=0).
    • espessura é dx.
  • Volume da casca aproximado por: \,dV \approx (circunferência) \times (altura) \times (espessura) = 2\pi (\text{raio})(\text{altura})\,dx.
Agora aplicando ao nosso caso:
  • \text{altura} = \operatorname{sen}\!(x^{2}) - 0 = \operatorname{sen}\!(x^{2}).
  • \text{raio} = x.
    Portanto a integral do volume é
V = \int_{x=0}^{x=\sqrt{\pi}} 2\pi \, x \,\operatorname{sen}\!(x^{2}) \,dx.

Passo 3

Vamos simplificar a integral usando uma substituição padrão. Note que a derivada de x^{2} é 2x, então a substituição u=x^{2} funciona bem.
Faça:
u = x^{2}\quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Troca dos limites:
  • quando x=0 temos u=0^{2}=0;
  • quando x=\sqrt{\pi} temos u=(\sqrt{\pi})^{2}=\pi.
Substituindo na integral obtida no passo anterior:
V = 2\pi \int_{0}^{\sqrt{\pi}} x\,\operatorname{sen}\!(x^{2})\,dx = 2\pi \int_{u=0}^{u=\pi} \operatorname{sen}\!(u)\cdot\frac{du}{2}.
Fatorando o \tfrac{1}{2}:
V = \pi \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}\!(u)\,du.

Passo 4

Agora avaliamos a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}\!(u)\,du.
Recordando que uma primitiva de \operatorname{sen}\!(u) é -\cos u, temos:
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}\!(u)\,du = \bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-\cos\pi\bigr) - \bigl(-\cos 0\bigr).
Sabendo que \cos\pi = -1 e \cos 0 = 1, obtemos o valor da integral:
\bigl(-\cos\pi\bigr) - \bigl(-\cos 0\bigr) = (-(-1)) - (-(1)) = 1 - (-1) = 2.
Portanto a expressão para o volume ficou reduzida a \pi vezes esse resultado (o produto final será apresentado na seção de resposta).

Resposta

2\pi

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