Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno de
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume gerado pela rotação da região limitada por
,
,
e
em torno do eixo
.
Informações dadas:
- Curvas que limitam a região:
, , e . - Eixo de rotação:
(o eixo vertical, ou seja, o eixo ). - Intervalo em
: . - A região fica no 1.º quadrante (porque para
, ).
O que se pede: o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno de
.
Passo 2
Escolha do método: o enunciado não impõe um método. Observando as informações, a região é dada por limites verticais
e
(ou seja,
varia entre constantes) e o eixo de rotação é vertical (
). Nessas situações, o método dos casquilhos cilíndricos (método das cascas) é o mais simples porque usamos fatias verticais em
e cada fatia gera uma casca ao girar em torno do eixo vertical.
Explicação rápida do porquê não usar o método dos discos/aneis aqui: para discos/aneis seria natural integrar em
, mas expressar a fronteira em termos de
como função de
(isto é,
) e lidar com
variando de
a
torna a montagem do integral mais trabalhosa. Portanto escolhemos cascas.
Passo 3
Aula rápida sobre o método das cascas cilíndricas (fórmula e interpretação):
- Imagine uma fatia vertical da região com abscissa
, largura infinitesimal e altura igual à diferença entre a curva superior e a inferior. - Ao girar essa fatia em torno do eixo vertical
, ela gera uma casca cilíndrica aproximada de raio , altura e espessura . - O comprimento da circunferência da casca é
. A área lateral aproximada da casca é . - O volume diferencial dessa casca é área lateral vezes a espessura:
Aqui:
-
é a distância da fatia ao eixo de rotação (no nosso caso, distância horizontal até ), -
é a altura da fatia (diferença entre as funções superior e inferior), -
é a espessura da fatia.
Passo 4
Identificação dos componentes para este problema:
- Raio da casca: a fatia vertical em abscissa
está a uma distância do eixo . Logo
- Altura da casca: a região, para cada
, vai de até . Então
- Intervalo de integração:
varia de até , ou seja, .
Passo 5
Montagem do integral usando a fórmula das cascas:
Simplificando a expressão dentro do integrando:
Portanto o volume total é
Passo 6
Cálculo do integral:
Sem calculadora:
, então o resultado fica
.
Passo 7
Verificação rápida de sentido físico e sanidade: o integrando constante
é coerente com a simplificação
. O volume é finito e da ordem de unidade vezes
, o que faz sentido para uma região estreita (entre
e
) girada ao redor do eixo vertical.