Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
y=1 / x, y=0, x=1, x=2; em torno de x=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume gerado pela rotação da região limitada por y=\tfrac{1}{x}, y=0, x=1 e x=2 em torno do eixo x=0.
Informações dadas:
  • Curvas que limitam a região: y=\tfrac{1}{x}, y=0, x=1 e x=2.
  • Eixo de rotação: x=0 (o eixo vertical, ou seja, o eixo y).
  • Intervalo em x: [1,2].
  • A região fica no 1.º quadrante (porque para x>0, y=\tfrac{1}{x}>0).
O que se pede: o volume do sólido formado pela rotação dessa região em torno de x=0.

Passo 2

Escolha do método: o enunciado não impõe um método. Observando as informações, a região é dada por limites verticais x=1 e x=2 (ou seja, x varia entre constantes) e o eixo de rotação é vertical ( x=0). Nessas situações, o método dos casquilhos cilíndricos (método das cascas) é o mais simples porque usamos fatias verticais em x e cada fatia gera uma casca ao girar em torno do eixo vertical.
Explicação rápida do porquê não usar o método dos discos/aneis aqui: para discos/aneis seria natural integrar em y, mas expressar a fronteira em termos de x como função de y (isto é, x=1/y) e lidar com y variando de \tfrac{1}{2} a 1 torna a montagem do integral mais trabalhosa. Portanto escolhemos cascas.

Passo 3

Aula rápida sobre o método das cascas cilíndricas (fórmula e interpretação):
  • Imagine uma fatia vertical da região com abscissa x, largura infinitesimal \,dx e altura h(x) igual à diferença entre a curva superior e a inferior.
  • Ao girar essa fatia em torno do eixo vertical x=0, ela gera uma casca cilíndrica aproximada de raio r(x), altura h(x) e espessura \,dx.
  • O comprimento da circunferência da casca é 2\pi r(x). A área lateral aproximada da casca é 2\pi r(x)\cdot h(x).
  • O volume diferencial dessa casca é área lateral vezes a espessura:
dV = 2\pi r(x)\,h(x)\,dx.
Aqui:
  • r(x) é a distância da fatia ao eixo de rotação (no nosso caso, distância horizontal até x=0),
  • h(x) é a altura da fatia (diferença entre as funções superior e inferior),
  • dx é a espessura da fatia.

Passo 4

Identificação dos componentes para este problema:
  • Raio da casca: a fatia vertical em abscissa x está a uma distância x do eixo x=0. Logo
r(x)=x.
  • Altura da casca: a região, para cada x\in[1,2], vai de y=0 até y=\tfrac{1}{x}. Então
h(x)=\frac{1}{x}-0=\frac{1}{x}.
  • Intervalo de integração: x varia de 1 até 2, ou seja, x\in[1,2].

Passo 5

Montagem do integral usando a fórmula das cascas:
dV = 2\pi r(x) h(x)\,dx = 2\pi \bigl(x\bigr)\left(\frac{1}{x}\right)\,dx.
Simplificando a expressão dentro do integrando:
2\pi \bigl(x\bigr)\left(\frac{1}{x}\right)=2\pi.
Portanto o volume total é
V=\int_{x=1}^{x=2} 2\pi\,dx.

Passo 6

Cálculo do integral:
V=2\pi\int_{1}^{2} dx = 2\pi\bigl[x\bigr]_{1}^{2}=2\pi(2-1)=2\pi.
Sem calculadora: 2-1=1, então o resultado fica 2\pi.

Passo 7

Verificação rápida de sentido físico e sanidade: o integrando constante 2\pi é coerente com a simplificação x\cdot(1/x)=1. O volume é finito e da ordem de unidade vezes \pi, o que faz sentido para uma região estreita (entre x=1 e x=2) girada ao redor do eixo vertical.

Resposta

\;2\pi

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