Encontre o comprimento exato da curva.
y=1-e^{-x}, \quad 0 \leqslant x \leqslant 2

Passo 1

O enunciado dá a curva y=1-e^{-x} no intervalo 0\leqslant x\leqslant 2 e pede o comprimento exato dessa curva.
Informações fornecidas:
  • A função é y=1-e^{-x}.
  • O intervalo é x\in[0,2].
    Pergunta explícita: calcular o comprimento da curva y=1-e^{-x} para x entre 0 e 2.

Passo 2

A ferramenta que usamos para comprimento de curva de uma função y=f(x) é a fórmula do comprimento de arco no intervalo [a,b]:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando a fórmula: L é o comprimento procurado; f'(x) é a derivada da função f em relação a x; o integrando \sqrt{1+(f'(x))^{2}} vem do teorema que aproxima pequenos pedaços da curva por segmentos retos e soma os comprimentos desses segmentos, levando ao limite integral. Aqui a=0 e b=2.

Passo 3

Primeiro calculo a derivada da função y=1-e^{-x}. Usando regra da cadeia para e^{-x}:
\frac{dy}{dx}=f'(x)= -\bigl(-e^{-x}\bigr)=e^{-x}.
Explicando: a derivada de e^{-x} é -e^{-x}, e há um sinal negativo na função original, então f'(x)=e^{-x}.

Passo 4

Substituo f'(x) na fórmula do comprimento:
L=\int_{0}^{2}\sqrt{1+\bigl(e^{-x}\bigr)^{2}}\,dx=\int_{0}^{2}\sqrt{1+e^{-2x}}\,dx.
Agora preciso calcular essa integral definida. Vou encontrar uma primitiva de \sqrt{1+e^{-2x}} e depois avaliar entre 0 e 2.

Passo 5

Faço a substituição intermediária v=e^{-x}. Então dv=-e^{-x}dx=-v\,dx, daí dx=-\dfrac{dv}{v}. Quando x=0 temos v=e^{0}=1. Quando x=2 temos v=e^{-2}. Assim a integral transforma-se em
L=\int_{x=0}^{x=2}\sqrt{1+e^{-2x}}\,dx = -\int_{v=1}^{v=e^{-2}}\frac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}\,dv.
Invertendo os limites (o que troca o sinal), obtenho
L=\int_{v=e^{-2}}^{v=1}\frac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}\,dv.

Passo 6

Agora preciso de uma primitiva de \dfrac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}. Vou apresentar uma função cuja derivada é essa; isso é um método direto e seguro. Proponho
G(v)=\sqrt{1+v^{2}}-\ln\!\biggl(\frac{1+\sqrt{1+v^{2}}}{v}\biggr).
Vou verificar que G'(v)=\dfrac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}.
Calculo as derivadas termo a termo.
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dv}\sqrt{1+v^{2}}=\frac{v}{\sqrt{1+v^{2}}}.
Derivada do segundo termo (uso regra da cadeia):
\frac{d}{dv}\ln\!\biggl(\frac{1+\sqrt{1+v^{2}}}{v}\biggr) =\frac{d}{dv}\bigl(\ln(1+\sqrt{1+v^{2}})-\ln v\bigr) =\frac{1}{1+\sqrt{1+v^{2}}}\cdot\frac{v}{\sqrt{1+v^{2}}}-\frac{1}{v}.
Então
G'(v)=\frac{v}{\sqrt{1+v^{2}}}-\left(\frac{v}{\sqrt{1+v^{2}}\bigl(1+\sqrt{1+v^{2}}\bigr)}-\frac{1}{v}\right).
Coloco com denominador comum ou simplifico em etapas: reúno os dois primeiros termos que têm fator \dfrac{v}{\sqrt{1+v^{2}}}:
\frac{v}{\sqrt{1+v^{2}}}\left(1-\frac{1}{1+\sqrt{1+v^{2}}}\right)+\frac{1}{v}.
E
1-\frac{1}{1+\sqrt{1+v^{2}}}=\frac{\sqrt{1+v^{2}}}{1+\sqrt{1+v^{2}}}.
Logo
G'(v)=\frac{v}{\sqrt{1+v^{2}}}\cdot\frac{\sqrt{1+v^{2}}}{1+\sqrt{1+v^{2}}}+\frac{1}{v} =\frac{v}{1+\sqrt{1+v^{2}}}+\frac{1}{v}.
Coloco sobre o mesmo denominador v\bigl(1+\sqrt{1+v^{2}}\bigr):
G'(v)=\frac{v^{2}+\bigl(1+\sqrt{1+v^{2}}\bigr)}{v\bigl(1+\sqrt{1+v^{2}}\bigr)} =\frac{v^{2}+1+\sqrt{1+v^{2}}}{v\bigl(1+\sqrt{1+v^{2}}\bigr)}.
Mas note que v^{2}+1=(\sqrt{1+v^{2}})^{2}, então o numerador fica (\sqrt{1+v^{2}})^{2}+\sqrt{1+v^{2}}=\sqrt{1+v^{2}}\bigl(\sqrt{1+v^{2}}+1\bigr). Cancelando com o denominador obtemos
G'(v)=\frac{\sqrt{1+v^{2}}\bigl(\sqrt{1+v^{2}}+1\bigr)}{v\bigl(1+\sqrt{1+v^{2}}\bigr)}=\frac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}.
Portanto a verificação está feita: G'(v)=\dfrac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}. Assim G é uma primitiva válida.

Passo 7

Usando a primitiva G(v), a integral definida em v é
L=\biggl[G(v)\biggr]_{v=e^{-2}}^{v=1} =\left(\sqrt{1+v^{2}}-\ln\!\biggl(\frac{1+\sqrt{1+v^{2}}}{v}\biggr)\right)\Bigg|_{v=e^{-2}}^{v=1}.

Passo 8

Avalio em v=1 e v=e^{-2}.
Para v=1:
\sqrt{1+1^{2}}=\sqrt{2},\qquad \ln\!\biggl(\frac{1+\sqrt{1+1^{2}}}{1}\biggr)=\ln(1+\sqrt{2}).
Logo G(1)=\sqrt{2}-\ln(1+\sqrt{2}).
Para v=e^{-2}:
\sqrt{1+e^{-4}},\qquad \ln\!\biggl(\frac{1+\sqrt{1+e^{-4}}}{e^{-2}}\biggr)=\ln\!\bigl(e^{2}\bigr)+\ln\!\bigl(1+\sqrt{1+e^{-4}}\bigr)=2+\ln\!\bigl(1+\sqrt{1+e^{-4}}\bigr).
Portanto
G(e^{-2})=\sqrt{1+e^{-4}}-\bigl(2+\ln(1+\sqrt{1+e^{-4}})\bigr) =\sqrt{1+e^{-4}}-2-\ln(1+\sqrt{1+e^{-4}}).

Passo 9

Subtraio para obter L:
L=G(1)-G(e^{-2}) =\bigl(\sqrt{2}-\ln(1+\sqrt{2})\bigr)-\bigl(\sqrt{1+e^{-4}}-2-\ln(1+\sqrt{1+e^{-4}})\bigr).
Reorganizando os termos:
L=2+\sqrt{2}-\sqrt{1+e^{-4}}-\ln(1+\sqrt{2})+\ln(1+\sqrt{1+e^{-4}}).
Se preferir, podemos agrupar os logaritmos:
L=2+\sqrt{2}-\sqrt{1+e^{-4}}+\ln\!\biggl(\frac{1+\sqrt{1+e^{-4}}}{1+\sqrt{2}}\biggr).
Ambas as formas são equivalentes e representam o comprimento exato.

Resposta

L=2+\sqrt{2}-\sqrt{1+e^{-4}}-\ln(1+\sqrt{2})+\ln(1+\sqrt{1+e^{-4}})

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