Encontre o comprimento exato da curva. y=1-e^{-x}, \quad 0 \leqslant x \leqslant 2
Passo 1
O enunciado dá a curva y=1-e^{-x} no intervalo 0\leqslant x\leqslant 2 e pede o comprimento exato dessa curva.
Informações fornecidas:
A função é y=1-e^{-x}.
O intervalo é x\in[0,2].
Pergunta explícita: calcular o comprimento da curva y=1-e^{-x} para x entre 0 e 2.
Passo 2
A ferramenta que usamos para comprimento de curva de uma função y=f(x) é a fórmula do comprimento de arco no intervalo [a,b]:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando a fórmula: L é o comprimento procurado; f'(x) é a derivada da função f em relação a x; o integrando \sqrt{1+(f'(x))^{2}} vem do teorema que aproxima pequenos pedaços da curva por segmentos retos e soma os comprimentos desses segmentos, levando ao limite integral. Aqui a=0 e b=2.
Passo 3
Primeiro calculo a derivada da função y=1-e^{-x}. Usando regra da cadeia para e^{-x}:
\frac{dy}{dx}=f'(x)= -\bigl(-e^{-x}\bigr)=e^{-x}.
Explicando: a derivada de e^{-x} é -e^{-x}, e há um sinal negativo na função original, então f'(x)=e^{-x}.
Agora preciso calcular essa integral definida. Vou encontrar uma primitiva de \sqrt{1+e^{-2x}} e depois avaliar entre 0 e 2.
Passo 5
Faço a substituição intermediária v=e^{-x}. Então dv=-e^{-x}dx=-v\,dx, daí dx=-\dfrac{dv}{v}. Quando x=0 temos v=e^{0}=1. Quando x=2 temos v=e^{-2}. Assim a integral transforma-se em
Agora preciso de uma primitiva de \dfrac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}. Vou apresentar uma função cuja derivada é essa; isso é um método direto e seguro. Proponho
Mas note que v^{2}+1=(\sqrt{1+v^{2}})^{2}, então o numerador fica (\sqrt{1+v^{2}})^{2}+\sqrt{1+v^{2}}=\sqrt{1+v^{2}}\bigl(\sqrt{1+v^{2}}+1\bigr). Cancelando com o denominador obtemos