Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno de
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
.\n
Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:\n
Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:\n
- As curvas são
e .\n - O eixo de rotação é
(ou seja, o eixo vertical -axis).\n - Precisamos da região limitada por essas duas curvas; isso implica achar onde elas se intersectam para determinar os limites do domínio em
.\n - Não foi fornecida figura, mas as duas curvas são definidas para
(pois exige ).\n
Passo 2
Vamos achar as interseções entre as curvas para saber o intervalo em
que descreve a região.\n
Resolver a equação
Resolver a equação
Para
, podemos escrever
. Assim
Se
a igualdade vale. Para
podemos dividir por
e obter
Agora isolamos
:
Logo, os pontos de interseção são
e
. Portanto a região limitada está entre
e
.\n
Passo 3
Antes de montar a integral, vamos identificar qual curva é a superior (maior
) no intervalo
.\n
Para temos
e
. Como
e
nesse intervalo, fica claro que
Para
Portanto a “altura” da região (distância entre as curvas) é
\n
Passo 4
Escolha do método de cálculo do volume: cascas cilíndricas (método das cascas de cilindro).\n
Explicando o método de forma didática e por que o escolhemos:\n
Explicando o método de forma didática e por que o escolhemos:\n
- Quando giramos uma região em torno de uma reta vertical (
), é muito natural usar cascas verticais (fatias verticais paralelas ao eixo ).\n - Cada fatia vertical, em
fixo e de espessura , ao girar em torno de gera uma casca cilíndrica de raio igual à distância do ponto ao eixo de rotação (aqui o raio é , já que a reta é ) e altura igual à diferença entre as curvas (aqui ).\n - A fórmula da casca cilíndrica: se uma casca tem raio
, altura e espessura , seu volume aproximado é . Integrando de a obtém-se o volume total:
- Aqui
e , e os limites são e .\n
Por isso escolhemos cascas: é direto, evita inverter funções para usar discos/anelos e usa integração emque é simples.\n
Passo 5
Montando a integral pelo método das cascas:
Antes de integrar, simplificamos a expressão escrevendo
:
Logo a integral fica
Passo 6
Integramos termo a termo. Lembre-se da regra básica de integração: para
,
Aplicando isso a cada termo:
- Para
: o expoente é , então
- Para
: o expoente é , então
Portanto a primitiva da integranda é
Passo 7
Avaliação da integral definida de
a
:
Calcule os valores nas extremidades:
Colocando em denominação comum:
Passo 8
Voltando à fórmula do volume, multiplicamos pelo fator
:
Esta é a expressão do volume antes da simplificação final.\n