Determine o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
y=x^{2}, y=\sqrt{x}; em torno de x=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=\sqrt{x} em torno da reta x=0.\n
Informações dadas e pontos importantes extraídos do enunciado:\n
  • As curvas são y=x^{2} e y=\sqrt{x}.\n
  • O eixo de rotação é x=0 (ou seja, o eixo vertical y-axis).\n
  • Precisamos da região limitada por essas duas curvas; isso implica achar onde elas se intersectam para determinar os limites do domínio em x.\n
  • Não foi fornecida figura, mas as duas curvas são definidas para x\ge 0 (pois \sqrt{x} exige x\ge0).\n

Passo 2

Vamos achar as interseções entre as curvas para saber o intervalo em x que descreve a região.\n
Resolver a equação
x^{2}=\sqrt{x}.
Para x\ge 0, podemos escrever \sqrt{x}=x^{1/2}. Assim
x^{2}=x^{1/2}.
Se x=0 a igualdade vale. Para x>0 podemos dividir por x^{1/2} e obter
x^{3/2}=1.
Agora isolamos x:
x=\left(1\right)^{2/3}=1.
Logo, os pontos de interseção são x=0 e x=1. Portanto a região limitada está entre x=0 e x=1.\n

Passo 3

Antes de montar a integral, vamos identificar qual curva é a superior (maior y) no intervalo [0,1].\n
Para 0<x<1 temos \sqrt{x}=x^{1/2} e x^{2}. Como x^{1/2}>x e x>x^{2} nesse intervalo, fica claro que
\sqrt{x} > x^{2}\quad\text{para }0<x<1.
Portanto a “altura” da região (distância entre as curvas) é \text{altura}=\sqrt{x}-x^{2}.\n

Passo 4

Escolha do método de cálculo do volume: cascas cilíndricas (método das cascas de cilindro).\n
Explicando o método de forma didática e por que o escolhemos:\n
  • Quando giramos uma região em torno de uma reta vertical ( x=0), é muito natural usar cascas verticais (fatias verticais paralelas ao eixo y).\n
  • Cada fatia vertical, em x fixo e de espessura dx, ao girar em torno de x=0 gera uma casca cilíndrica de raio igual à distância do ponto ao eixo de rotação (aqui o raio é x, já que a reta é x=0) e altura igual à diferença entre as curvas (aqui \sqrt{x}-x^{2}).\n
  • A fórmula da casca cilíndrica: se uma casca tem raio r(x), altura h(x) e espessura dx, seu volume aproximado é 2\pi r(x) h(x)\,dx. Integrando de x=a a x=b obtém-se o volume total:
V = 2\pi \int_{a}^{b} r(x)\,h(x)\,dx.
  • Aqui r(x)=x e h(x)=\sqrt{x}-x^{2}, e os limites são a=0 e b=1.\n
    Por isso escolhemos cascas: é direto, evita inverter funções para usar discos/anelos e usa integração em x que é simples.\n

Passo 5

Montando a integral pelo método das cascas:
V = 2\pi \int_{0}^{1} x\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr)\,dx.
Antes de integrar, simplificamos a expressão escrevendo \sqrt{x}=x^{1/2}:
x\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr)=x\bigl(x^{1/2}-x^{2}\bigr)=x^{3/2}-x^{3}.
Logo a integral fica
V = 2\pi \int_{0}^{1}\bigl(x^{3/2}-x^{3}\bigr)\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo. Lembre-se da regra básica de integração: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aplicando isso a cada termo:
  • Para x^{3/2}: o expoente é n=\tfrac{3}{2}, então
\int x^{3/2}\,dx=\frac{x^{(3/2)+1}}{(3/2)+1}=\frac{x^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}x^{5/2}.
  • Para x^{3}: o expoente é n=3, então
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
Portanto a primitiva da integranda é
\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{x^{4}}{4}.

Passo 7

Avaliação da integral definida de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{3/2}-x^{3}\bigr)\,dx=\left[\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}.
Calcule os valores nas extremidades:
\left(\frac{2}{5}\cdot 1^{5/2}-\frac{1^{4}}{4}\right)-\left(\frac{2}{5}\cdot 0^{5/2}-\frac{0^{4}}{4}\right)=\frac{2}{5}-\frac{1}{4}.
Colocando em denominação comum:
\frac{2}{5}-\frac{1}{4}=\frac{8}{20}-\frac{5}{20}=\frac{3}{20}.

Passo 8

Voltando à fórmula do volume, multiplicamos pelo fator 2\pi:
V=2\pi\cdot \frac{3}{20}.
Esta é a expressão do volume antes da simplificação final.\n

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{10}

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