1. (Reciclo) 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma alimentação fresca contendo 20 \% (em peso) de \mathrm{KNO}_{3} em \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} são combinados com uma corrente de reciclo e a corrente resultante alimenta um evaporador. A solução líquida concentrada sai do evaporador contendo 50 \% de \mathrm{KNO}_{3} e alimenta um cristalizador. Os cristais obtidos no cristalizador têm composição de 96 \% \mathrm{KNO}_{3} e 4 \% \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}. O líquido proveniente do cristalizador constitui a corrente de reciclo e contém 0,6 \mathrm{~kg} de \mathrm{KNO}_{3} por kg de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}.

Passo 1

O enunciado fornece um circuito com alimentação fresca, reciclo, evaporador e cristalizador. Vou listar tudo o que está dado e o que vou determinar (isto é importante para não se perder no raciocínio).
Dados do problema:
  • Alimentação fresca: 100\\ \mathrm{kg/h} com 20\% em massa de \mathrm{KNO_3}.
    Portanto a alimentação fresca contém 20\\ \mathrm{kg/h} de \mathrm{KNO_3} e 80\\ \mathrm{kg/h} de \mathrm{H_2O}.
  • A alimentação fresca é combinada com uma corrente de reciclo (vazão desconhecida).
  • Após combinação, a corrente entra no evaporador; a solução concentrada sai do evaporador com 50\% em massa de \mathrm{KNO_3} (o vapor retirado é água; assume-se \mathrm{KNO_3} não-volátil).
  • Essa solução concentrada alimenta o cristalizador.
  • Nos cristais: composição \,96\% \mathrm{KNO_3} e 4\% \mathrm{H_2O}.
  • A corrente líquida (recalco) que sai do cristalizador (ou seja, a corrente de reciclo) contém 0{,}6\\ \mathrm{kg\\ KNO_3} por \mathrm{kg} de \mathrm{H_2O}.
O que a questão espera que eu determine (itens típicos nesse tipo de problema):
  • A vazão da corrente de reciclo (em \mathrm{kg/h}).
  • A vazão de cristais produzidos (em \mathrm{kg/h}).
  • (Opcional e útil) a vazão de vapor (água evaporada) do evaporador (em \mathrm{kg/h}).
Observação: todos os cálculos serão em regime estacionário e em massa (kg/h). Vou usar balanços de massa total e de componente ( \mathrm{KNO_3}), e transformar a informação “0,6 kg KNO3 por kg H2O” em frações em massa quando necessário.

Passo 2

Convencer-se das variáveis e traduzir a informação da composição do reciclo em frações de massa — passo essencial e às vezes fonte de erro.
Defino:
  • R = vazão da corrente de reciclo (em \mathrm{kg/h}).
  • P = vazão de cristais produzidos (em \mathrm{kg/h}).
  • F_f = 100\\ \mathrm{kg/h} = alimentação fresca.
  • K_f = massa de \mathrm{KNO_3} na fresca = 0{,}20\cdot100 = 20\\ \mathrm{kg/h}.
  • W_f = massa de água na fresca = 80\\ \mathrm{kg/h}.
A informação do reciclo é: 0{,}6\\ \mathrm{kg\\ KNO_3} por 1\\ \mathrm{kg\\ H_2O}. Se na corrente de reciclo a quantidade de água for W_R (kg/h) e de sal for K_R (kg/h), então
\frac{K_R}{W_R}=0{,}6.
Dessa relação obtemos K_R=0{,}6\,W_R e a massa total do reciclo é
R = K_R + W_R = 0{,}6\,W_R + W_R = 1{,}6\,W_R.
Logo
W_R=\frac{R}{1{,}6},\qquad K_R=0{,}6\cdot\frac{R}{1{,}6}=\frac{0{,}6}{1{,}6}R=0{,}375\,R.
Portanto as frações em massa no reciclo são:
\text{fração de }\mathrm{KNO_3}\\ \text{no reciclo}=\frac{K_R}{R}=0{,}375, \qquad \text{fração de água no reciclo}=0{,}625.çãçãá
Comentário didático curto: transformar razões do tipo “a kg por kg b” em frações de massa é um passo recorrente em balanços de massa; aqui isso nos deu diretamente que 37{,}5\% em massa do reciclo é \mathrm{KNO_3}.

Passo 3

Balanço de massa do sistema antes do evaporador (fluxo que entra no evaporador / cristalizador).
A corrente total que entra no evaporador (e, após evaporação, a solução concentrada que entra no cristalizador) é a soma da alimentação fresca com o reciclo:
F = F_f + R = 100 + R\quad(\mathrm{kg/h}).
Massa de \mathrm{KNO_3} nessa corrente:
K_{\text{total}} = K_f + K_R = 20 + 0{,}375\,R\quad(\mathrm{kg/h}).
Massa de água nessa corrente:
W_{\text{total}} = W_f + W_R = 80 + 0{,}625\,R\quad(\mathrm{kg/h}).
Observação: \mathrm{KNO_3} não volatiliza no evaporador, logo toda a massa de \mathrm{KNO_3} que entra no evaporador aparece na solução concentrada que sai do evaporador (e entra no cristalizador).
O enunciado diz que a solução concentrada que sai do evaporador contém 50\% em massa de \mathrm{KNO_3}. Assim a massa total da solução concentrada (que chamei \,S) é:
\text{fração de } \mathrm{KNO_3} = 0{,}50 = \frac{K_{\text{total}}}{S} \quad\Rightarrow\quad S = \frac{K_{\text{total}}}{0{,}50} = 2\,K_{\text{total}}.çã
Substituindo K_{\text{total}}=20+0{,}375R,
S = 2\,(20 + 0{,}375R) = 40 + 0{,}75\,R\quad(\mathrm{kg/h}).
Comentário didático: esse tipo de passo — converter uma fração em massa num total a partir da quantidade do componente — é muito usado. Se x é a fração do componente e K sua massa, então o total é K/x.

Passo 4

Balanços no cristalizador: divisão da solução concentrada S em cristais P e líquido de reciclo R.
No cristalizador temos:
  • Entrada: fluxo S com massa total 40 + 0{,}75R e contendo K_{\text{total}}=20+0{,}375R de \mathrm{KNO_3}.
  • Saídas: cristais P (com 96\% \mathrm{KNO_3}) e líquido retorno (o próprio R, que já chamamos de reciclo, com composição conhecida: fração de \mathrm{KNO_3}=0{,}375).
Balanço de massa total no cristalizador:
S = P + R.
Substituindo S:
40 + 0{,}75R = P + R \quad\Rightarrow\quad P = 40 + 0{,}75R - R = 40 - 0{,}25R.
Esta é uma relação entre P e R.
Balanço de componente ( \mathrm{KNO_3}) no cristalizador:
\text{K na alimentação }S = \text{K nos cristais } + \text{K no reciclo}.çã
Em símbolos:
20 + 0{,}375R = 0{,}96\,P + 0{,}375R.
Repare que o termo 0{,}375R aparece em ambos os lados (é a \mathrm{KNO_3} que circula no líquido), então ele se cancela:
20 = 0{,}96\,P.
Isto é muito conveniente: o balanço de \mathrm{KNO_3} mostra que, numericamente, todos os 20\\ \mathrm{kg/h} de \mathrm{KNO_3} que vinham na alimentação fresca acabam incorporados aos cristais — porque a parte do sal que vem do reciclo sai do cristalizador quase inteira novamente no reciclo (equilíbrio entre entrada e saída do reciclo).
Da equação anterior:
P = \frac{20}{0{,}96}.
Faço a divisão sem calculadora: 20/0{,}96 = 20/(96/100) = 20\cdot\frac{100}{96} = \frac{2000}{96} = \frac{125}{6} \approx 20{,}833333\\ \mathrm{kg/h}.
Então
P = 20{,}833333\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 5

Determinar R usando a relação entre P e R obtida no balanço total do cristalizador.
Lembrando que
P = 40 - 0{,}25R,
substituo P=20{,}833333:
20{,}833333 = 40 - 0{,}25R.
Rearranjando:
0{,}25R = 40 - 20{,}833333 = 19{,}166667.
Logo
R = \frac{19{,}166667}{0{,}25} = 4\cdot 19{,}166667 = 76{,}666668\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondando com precisão razoável:
R = 76{,}6667\\ \mathrm{kg/h}\quad(\text{ou }76{,}67\\ \mathrm{kg/h}).
Comentário: o valor do reciclo é relativamente grande comparado à alimentação fresca — isso é comum em processos onde se retém muito solvente no líquido reciclado.

Passo 6

Verificações rápidas (sempre faça checagens para não perder pontos na prova):
  1. Verificar balanço de \mathrm{KNO_3} total do circuito (entrada fresca + reciclo versus saídas):
  • K na fresca: 20.
  • K no reciclo (corrente que retorna): K_R = 0{,}375R = 0{,}375\cdot76{,}6667 = 28{,}75\\ \mathrm{kg/h}.
  • Total K entrando no evaporador/cristalizador: 20 + 28{,}75 = 48{,}75\\ \mathrm{kg/h}.
Saídas do cristalizador: K nos cristais =0{,}96\cdot P = 0{,}96\cdot20{,}833333 = 20\\ \mathrm{kg/h} e K no reciclo de saída =28{,}75. Soma =48{,}75. Balanço fechado.
  1. Verificar massa total no evaporador:
  • Entrada ao evaporador: F = 100 + R = 176{,}6667\\ \mathrm{kg/h}.
  • Saída de solução concentrada S = 40 + 0{,}75R = 40 + 0{,}75\cdot76{,}6667 = 97{,}5\\ \mathrm{kg/h}.
  • Diferença é vapor evaporado V = F - S = 176{,}6667 - 97{,}5 = 79{,}1667\\ \mathrm{kg/h}.
  1. Verificar água:
  • Água na entrada total: 80 + 0{,}625R = 80 + 0{,}625\cdot76{,}6667 = 127{,}916667\\ \mathrm{kg/h}.
  • Água na saída líquida do cristalizador (reciclo + cristais): água nos cristais =0{,}04\cdot P = 0{,}04\cdot20{,}833333 = 0{,}833333\\ \mathrm{kg/h}; água no reciclo =0{,}625R = 47{,}916667. Soma =48{,}75. Logo água evaporada =127{,}916667 - 48{,}75 = 79{,}166667 igual ao V anterior. Verificação consistente.
Essas checagens mostram que os valores encontrados fecham todos os balanços (massa total e componente).

Resposta

R = 76{,}6667\\ \mathrm{kg/h} (vazão da corrente de reciclo)\n
P = 20{,}8333\\ \mathrm{kg/h} (vazão de cristais produzidos)\n
V = 79{,}1667\\ \mathrm{kg/h} (vazão de vapor/água evaporada)

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