Determine o volume de um paralelepípedo retângulo dada a soma de suas dimensões
, a diagonal
e a área de uma face
.
Passo 1
O enunciado dá três informações sobre as arestas de um paralelepípedo retângulo: a soma das três dimensões é
, a diagonal tem comprimento
e a área de uma face é
. Precisamos determinar o volume (produto das três arestas).
Vou chamar as arestas de ,
e
. Assim, as informações que extraímos do enunciado são:
A soma das arestas:
.
A diagonal:
. Logo
.
A área de uma face (escolho a face cujas arestas são
e
):
.
Observação: como as arestas são simétricas, podemos rotular a face dada como sem perda de generalidade.
Vou chamar as arestas de
Observação: como as arestas são simétricas, podemos rotular a face dada como
Passo 2
Escrevo as equações principais (todas já em TeX):
O objetivo é encontrar
.
Passo 3
Uso a identidade algébrica para a soma de quadrados:
Aqui
é a soma dos produtos par a par. Vou isolar essa soma:
Passo 4
Substituo os valores numéricos:
Como já sabemos
, obtenho
Passo 5
Fatorando
em
dá:
Mas
. Substituindo:
Isso é uma equação quadrática em
. Reescrevo-a na forma padrão:
Passo 6
Resolvo a quadrática usando o discriminante. O discriminante é
Logo
. As raízes são
Portanto os possíveis valores são
Passo 7
Para cada possibilidade de
obtenho
por
:
Se , então
. Mas também
. Os números
e
seriam raízes do polinômio
Se
O discriminante desta é
o que dá raízes complexas — não admissível para arestas reais positivas. Portanto
é descartado.
Se
, então
. Novamente
. As arestas
e
satisfazem
O discriminante é
Logo
Portanto as arestas são
,
,
(ordem qualquer).
Passo 8
Agora calculo o volume:
Faço as multiplicações passo a passo:
, depois
. Para as potências de
:
. Portanto