Determine o volume de um paralelepípedo retângulo dada a soma de suas dimensões 43 a, a diagonal 25 a e a área de uma face 180 a^{2}.

Passo 1

O enunciado dá três informações sobre as arestas de um paralelepípedo retângulo: a soma das três dimensões é 43a, a diagonal tem comprimento 25a e a área de uma face é 180a^{2}. Precisamos determinar o volume (produto das três arestas).
Vou chamar as arestas de x, y e z. Assim, as informações que extraímos do enunciado são:
1. A soma das arestas: x+y+z=43a.
2. A diagonal: \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=25a. Logo x^{2}+y^{2}+z^{2}=(25a)^{2}=625a^{2}.
3. A área de uma face (escolho a face cujas arestas são x e y): xy=180a^{2}.
Observação: como as arestas são simétricas, podemos rotular a face dada como xy sem perda de generalidade.

Passo 2

Escrevo as equações principais (todas já em TeX):
x+y+z=43a,
x^{2}+y^{2}+z^{2}=625a^{2},
xy=180a^{2}.
O objetivo é encontrar V=xyz.

Passo 3

Uso a identidade algébrica para a soma de quadrados:
(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx).
Aqui xy+yz+zx é a soma dos produtos par a par. Vou isolar essa soma:
xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{2}.

Passo 4

Substituo os valores numéricos:
xy+yz+zx=\frac{(43a)^{2}-625a^{2}}{2}=\frac{1849a^{2}-625a^{2}}{2}=\frac{1224a^{2}}{2}=612a^{2}.
Como já sabemos xy=180a^{2}, obtenho
yz+zx=612a^{2}-180a^{2}=432a^{2}.

Passo 5

Fatorando z em yz+zx dá:
z(x+y)=432a^{2}.
Mas x+y=(x+y+z)-z=43a-z. Substituindo:
z(43a-z)=432a^{2}.
Isso é uma equação quadrática em z. Reescrevo-a na forma padrão:
z^{2}-43a\;z+432a^{2}=0.

Passo 6

Resolvo a quadrática usando o discriminante. O discriminante é
\Delta=(43a)^{2}-4\cdot 1\cdot 432a^{2}=1849a^{2}-1728a^{2}=121a^{2}.
Logo \sqrt{\Delta}=11a. As raízes são
z=\frac{43a\pm 11a}{2}.
Portanto os possíveis valores são
z_{1}=\frac{43a+11a}{2}=\frac{54a}{2}=27a,
z_{2}=\frac{43a-11a}{2}=\frac{32a}{2}=16a.

Passo 7

Para cada possibilidade de z obtenho x+y por x+y=43a-z:
Se z=27a, então x+y=43a-27a=16a. Mas também xy=180a^{2}. Os números x e y seriam raízes do polinômio
t^{2}-(x+y)t+xy=t^{2}-16a\;t+180a^{2}=0.
O discriminante desta é
(16a)^{2}-4\cdot 180a^{2}=256a^{2}-720a^{2}=-464a^{2}<0,
o que dá raízes complexas — não admissível para arestas reais positivas. Portanto z=27a é descartado.
Se z=16a, então x+y=43a-16a=27a. Novamente xy=180a^{2}. As arestas x e y satisfazem
t^{2}-27a\;t+180a^{2}=0.
O discriminante é
(27a)^{2}-4\cdot 180a^{2}=729a^{2}-720a^{2}=9a^{2},
\sqrt{\\ }=3a. Assim as raízes são
t=\frac{27a\pm 3a}{2}.
Logo
t_{1}=\frac{30a}{2}=15a,\qquad t_{2}=\frac{24a}{2}=12a.
Portanto as arestas são x=15a, y=12a, z=16a (ordem qualquer).

Passo 8

Agora calculo o volume:
V=xyz=(15a)\cdot(12a)\cdot(16a).
Faço as multiplicações passo a passo: 15\cdot 12=180, depois 180\cdot 16=2880. Para as potências de a: a\cdot a\cdot a=a^{3}. Portanto
V=2880a^{3}.

Resposta

2880a^{3}

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