Calcule a medida da aresta lateral e o volume de um prisma cuja área lateral é 72 d m^{2} sendo os lados da seção reta respectivamente 3 d m, 4 d m e 5 d m.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.\n
Dados:
\text{Área lateral }A_L = 72\\ \text{dm}^2Á
\text{lados da seção reta (base triangular): }3\\ \text{dm},\;4\\ \text{dm},\;5\\ \text{dm}çã
Perguntas:
\text{(1) A medida da aresta lateral (altura do prisma);}\\\ \text{(2) O volume do prisma.}

Passo 2

Vamos definir variáveis e a fórmula que liga área lateral, perímetro da base e aresta lateral.\n
Definições:
h=\text{aresta lateral (altura do prisma)}
P=\text{perímetro da base}í
A_b=\text{área da base (seção triangular)}áçã
V=\text{volume do prisma}
Fórmula da área lateral de um prisma:
A_L = P\cdot h
Explicação didática: cada face lateral é um retângulo cuja altura é h e cuja largura é um lado da base; somando as áreas desses retângulos obtemos o produto do perímetro da base pela altura.

Passo 3

Calcular o perímetro da base (somando os lados dados):
P = 3+4+5=12\\ \text{dm}
Agora isolamos h na fórmula A_L = P\cdot h:
h = \frac{A_L}{P}
Substituindo os valores:
h = \frac{72}{12}=6\\ \text{dm}
Portanto, a aresta lateral (altura) é 6\\ \text{dm}.

Passo 4

Precisamos da área da base A_b para calcular o volume. Primeiro identificamos que o triângulo de lados 3,4,5 é retângulo, porque
3^2+4^2=9+16=25=5^2.
Num triângulo retângulo os catetos são 3 e 4, logo a área é:
A_b=\frac{1}{2}\cdot(\text{cateto}_1)\cdot(\text{cateto}_2)=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=6\\ \text{dm}^2.
Breve explicação: a área do triângulo retângulo é metade do retângulo formado pelos dois catetos.

Passo 5

Agora calculamos o volume do prisma usando a fórmula
V = A_b\cdot h.
Substituindo A_b=6\\ \text{dm}^2 e h=6\\ \text{dm}:
V = 6\cdot6=36\\ \text{dm}^3.
Unidades: área em \text{dm}^2, altura em \text{dm} → volume em \text{dm}^3.

Passo 6

Pequena checagem de consistência: área lateral =P\cdot h=12\cdot6=72\\ \text{dm}^2 (conferido) e volume com unidades coerentes. Tudo certo — ótimo trabalho, você chegou lá!

Resposta

6\\ \text{dm}
36\\ \text{dm}^3

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